恒成立问题解答方法
对于某二次函数>0时该如何判断开口和△的大小我常常在△>0还是<0中困惑。比如:(p-1)x平方+2px+3p-2>0对于任意实数x都有意义,该怎么做,p-1>0这是开口...
对于某二次函数>0时 该如何判断 开口和△的大小 我常常在△>0还是<0中困惑。比如:(p-1)x平方+2px+3p-2>0 对于任意实数x都有意义,该怎么做,p-1>0这是开口 那△是什么呢?
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我认为你困惑的原因是没有理解判别式△意义:△是判断一元二次方程有无根的依据(这点,我知道你理解),但结合二次函数,就是判断二次函数与x轴有无交点的依据。
你想想:对于二次函数,y=0时,它是不是一个一元二次方程?!如果此方程有解,是不是x等于某个数值时,y=0.是否对应二次函数与x轴的交点。
只要你弄清楚了以上内容,再按以下思路想一想,以后这类问题都可以迎刃而解:
如果△<0,把你所求的关于x的代数式看作二次函数,则二次函数与x轴没有交点(这一点确定无疑),这是解决问题的前提条件。
如果“你所求的关于x的代数式”大于0,根据二次函数图像与x轴的关系,则二次项的系数只能大于0(与“二次函数图像只能开口向上”相对应);
如果“你所求的关于x的代数式”小于0,根据二次函数图像与x轴的关系,则二次项的系数只能小于0(与“二次函数图像只能开口向下”相对应)。
如解答你的题目:(p-1)x平方+2px+3p-2>0 对于任意实数x都有意义,意思是:把左边换成二次函数来考虑,就是二次函数y=(p-1)x平方+2px+3p-2与x轴没有交点,又y=(p-1)x平方+2px+3p-2>0(注意y>0),所以开口一定向上。即:p-1>0 △<0 即(2p)的平方-4×(p-1)(3p-2)<0 故:p>2
你想想:对于二次函数,y=0时,它是不是一个一元二次方程?!如果此方程有解,是不是x等于某个数值时,y=0.是否对应二次函数与x轴的交点。
只要你弄清楚了以上内容,再按以下思路想一想,以后这类问题都可以迎刃而解:
如果△<0,把你所求的关于x的代数式看作二次函数,则二次函数与x轴没有交点(这一点确定无疑),这是解决问题的前提条件。
如果“你所求的关于x的代数式”大于0,根据二次函数图像与x轴的关系,则二次项的系数只能大于0(与“二次函数图像只能开口向上”相对应);
如果“你所求的关于x的代数式”小于0,根据二次函数图像与x轴的关系,则二次项的系数只能小于0(与“二次函数图像只能开口向下”相对应)。
如解答你的题目:(p-1)x平方+2px+3p-2>0 对于任意实数x都有意义,意思是:把左边换成二次函数来考虑,就是二次函数y=(p-1)x平方+2px+3p-2与x轴没有交点,又y=(p-1)x平方+2px+3p-2>0(注意y>0),所以开口一定向上。即:p-1>0 △<0 即(2p)的平方-4×(p-1)(3p-2)<0 故:p>2
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