Question

请教一道求极限的题！

x+x^2+……+x^n-n/x-1 当x趋近于1时，求其极限。麻烦帮忙解答一下过程。
算式忘加括号了，，应该是上面一列算式除以x-1

Answer 1

把n分开到每一项里面去，
则分子为（x-1)+(x^2-1)+(x^3-1)+......+(x^n-1)
分母为x-1。
若x>1且x趋于1，则分子趋于正无穷，因为此时x^n趋于正无穷，分母>0且趋于0，
相除极限为正无穷。
若x<1且x趋于1，则分子<-1/2，因为此时x^n趋于0，前面每一项都小于0，最后一项
（x^n-1)趋于-1<-1/2.分母趋于0且<0,相除是正无穷。
所以极限为正无穷。

Answer 2

（x+x^2+……+x^n-n）/（x-1）
=[（x-1)+(x^2-1)+(x^3-1)+……+(x^n-1)]/（x-1）
=1+（1+x）+(1+x+x^2)+……+[1+x+x^2+……+x^（n-1)]
=n+（n-1）x+（n-2）x^2+……+x^（n-1)
x趋于1时，以上变为等差数列求和
原式=n（n+1）/2

Answer 3

x^n-1=(x-1)(1+x+x^2+……+x^(n-1))
说以(x^n-1)/(x-1)=1+x+x^2+……+x^(n-1)
x->1时1+x+x^2+……+x^(n-1)=n
所以，原式=
(x-1)/(x-1)+(x^2-1)/(x-1)+……+(x^n-1)/(x-1)=1+2+……+n
=n(n+1)/2(x->1)