Question

若A=(α1,α2,....αn)是n*n正交矩阵,则B=α1α1T+α2α2T+...+αrαrT(1<=r<=n)的特征多项式是什么？

Answer 1

A=(α1,α2,....αn)是n*n正交矩阵,所以任意(αiT)αi=1 但(αiT)αj=0 i≠j时. 其中αiT表示αi的转置对1<=i<=r 有Bαi=α1α1Tαi+α2α2Tαi+...+αrαrTαi=αiαiTαi=αi对r+1<=i<=n Bαi=α1α1Tαi+α2α2Tαi+...+αrαrTαi=0所以αi (1<=i<=r )是B的特征值为1的特征向量 αi (r+1<=i<=n )是B的特征值为0的特征向量所以|λI-B|=[(λ-1)^r] [(λ-0)^(n-r)]=[(λ-1)^r]λ^(n-r)