Question

x乘以根号下x-1除以x+1的不定积分

Answer 1

可设 t²=(x-1)/(x+1)，则 x=-(t²+1)/(t²-1)，dx=4tdt/(t²-1)²；

原式=∫[-(t²+1)/(t²-1)]*t*[4t/(t²-1)²]dt=∫[-4t²(t²+1)/(t²-1)³]dt=-4∫[1/(t²-1) +3/(t²-1)² +2/(t²-1)³]dt；

可以利用积分公式计算，

；

也可以自行推导如下：

∫[4/(t²-1)³]dt=∫[(2/t)/(t²-1)²]dt²=-(2/t)[1/(t²-1)²]-∫(1/t²)[1/(t²-1)²]dt；

(1/t²)[1/(t²-1)²]=(1/t²)-[1/(t²-1)]+[1/(t²-1)²]；

1/(t²-1)=[1/(t-1)]-[1/(t+1)]；

4/(t²-1)²=(2/t)-[1/(t-1)]-[1/(t+1)]+[1/(t-1)²]-[1/(t+1)²]；

以上积分都可以化成 1/t、1/(t-1)、1/(t+1) 的形式后完成，最后再带回 x 就可了；