Question

在三角形ABC中，且AB=4,AC=5,BC=3,点P在三角形中，求PA+PB+PC的最小值？

Answer 1

你好！！！解法如下：分别以AB AC为边向外侧作正三角形ABD ACE 连结CD BE交于一点，则该点 即为所求P点。
证明：如下图所示。连结PA、PB、PC,在△ABE和△ACD中，AB=AD AE=AC ∠BAE=∠BAC+60° ∠DAC=∠BAC+60°=∠BAE ∴△ABE全等△ACD。
∴ ∠ABE=∠ADC 从而A、D、B、P四点共圆
∴∠APB=120° ， ∠APD=∠ABD=60°
同理：∠APC=∠BPC=120°
以P为圆心，PA为半径作圆交PD于F点，连结AF，
以A为轴心将△ABP顺时针旋转60°，已证∠APD=60°
∴△APF为正三角形。∴不难发现△ABP与△ADF重合。
∴BP=DF PA+PB+PC=PF+DF+PC=CD
另在△ABC中任取一异于P的点G ，同样连结GA、GB、GC、GD，以B为轴心
将△ABG逆时针旋转60°，记G点旋转到M点.。
则△ABG与△BDM重合，且M或 在 线 段DG上 或 在DG外。
GB+GA=GM+MD≥GDGA+GB+GC≥GD+GC>DC。
从而CD为最短的线段。
以上是简单的费马点问题，将此问题外推到四点，可验证四边形的对角线连线的交点即是所求点 祝你学业进步！！

Answer 2

解 设三角形ABC的三边长为BC=5,CA=4,AB=3.则上述三角形为直角三角形.
分别以AC,AB为边向三角形ABC的形外作正△ACE,△ABF.
连BE,CF.BE与CF交于P.
P点就是三角形ABC中到三个顶点距离和的最小值点.
称作费马点,或正等角中心.
P点具有如下性质:∠BPC=∠CPA=∠APB=120°.
PA+PB+PC=BE=CF=√[(a^2+b^2+c^2+4√3*S)/2]
=√[25+12√3].

Answer 3

直角三角形ABC, 设 BC 为斜边。
把三角形 PBC 以 B点 为轴，朝 BC 外侧旋转 60度，这时，C 转到C'，P 转到 P' .
此时，BCC' 是一个等边三角形，BPP' 也是等边三角形。
显然，PC = P'C', PB = BP' = PP'，于是，
PA+PB+PC = AP + PP' + P'C'
显然，直线段 AC' 是 PA + PB + PC = AP + PP' + P'C' 可能的最小值。
我们可以这样寻找 P点。按上述方法得到 C'点，连接 AC' ， 作 BD 垂直 AC'于D, 然后在 AC' 上（三角形ABC内）找到 P点，使 角PBD = 30度，同样，在 D 的另一侧，可以找到 P' 点，使 角P'BD = 30度 .

Answer 4

因为是求最小值 则P为此三角形三边垂直平分线交点即外心 所以PA=PB=PC=(3/2)平方+(4/2)平方开根号 即=0.25 所以答案为0.75