Question

A , B 都是实正定矩阵 证明AB也是正定矩阵

Answer 1

必要性： A,B,AB都是正定矩阵, 那么(根据定义)A,B,AB一定是 实对称矩阵, 所以有 AB=(AB)'=B'A'=BA 因而A与B是可交换的;充分性： A,B正定，那么(根据定义)A和B是对称矩阵， A'=A,B'=B 因为AB=BA，那么(AB)'=B'A'=BA=AB，这就说明AB 也是对称矩阵。 由于A与B正定，所以存在可逆矩阵P和Q满足 A=P'P，B=Q'Q 所以QAB(Q^(-1))=Q(P'P)(Q'Q)(Q^(-1))=QP'PQ'=(PQ')'PQ 这说明对称矩阵AB相似于正定矩阵(PQ')'PQ 所以AB也是正定矩阵

Answer 2

先证AB为对称矩阵。这题应该缺少A,B可交换这一条件，否则AB为对称矩阵这一条件也无法满足。
再证AB的特征值全为正。
因为A,B为正定矩阵，所以对于矩阵A,B可以找到共同的正交矩阵T，使得
T'AT=diag(a_1,a_2,...,a_n)
T'BT=diag(b_1,b_2,...,b_n)
其中a_i,b_i为A,B各自的特征值。
于是T'ATT'BT=T'(AB)T=diag(a_1b_1,...,a_nb_n)，即AB的所有特征值均为正。

Answer 3

因为AB是实正定矩阵，所以AB也是正定矩阵

Answer 4

图呢