数学染色问题。 130
注意：蛋糕是可以旋转的，如果旋转后颜色重叠了，那么只能算同一种染色方式。
只需要递推公式，不一定需要通项公式。
或者思路清晰的正确答案也会采纳。
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郭敦顒回答：
分三种类型进行研究——
当N=9≡0（mod3）时，
当N=10≡1（mod3）时，
当N =11≡2（mod3）时。
三种颜色分别为：A、B、C。
对于N=9≡0（mod3）时染色方式的排列组合的思路，如图
（一）内环的染色方式是ABC循环式，是其它染色方式变化的出发点。
（二）中环内有两种基本类型的染色方式，分别为位于分子和分母的位置
（1）位于分子位置的染色方式是1个A后接着是 BC循环式；
（2）位于分子位置的染色方式是1个A后接着是 BC循环式。
（三）外环内按排有4种变形类型的染色方式，将每一段按逆时针顺序分为4区，每区排列一种染色方式
（1）一区是由BC循环式中的第1个C替换为A；
（2）二区是由CB循环式中的第1个B替换为A；
（3）三区是由BC循环式中的第2个C替换为A；
（4）四区是由CB循环式中的第2个B替换为A；
下面还会有3—6个C和B分别替换为A，
故当N 9时有N－3=9－3=6个C，和6个B被分别替换为A，
共有（3－1）（N－3）=2（N－3）=2N－6种。
（四）未绘图，
（1）由BC循环式中的第1个和第3个共2个C，第1个和第5个共2个C，第3个和第5个共2个C，总计2×3=6种分别替换为A的染色方式。
（2）由CB循环式中的第1个和第3个共2个B，第1个和第5个共2个B，第3个和第5个共2个B，总计2×3=6种分别替换为A的染色方式。
上两项共12种染色方式，
前面提供的是染色方式的排列组合的思路，当N=10≡1（mod3）
和当N =11≡2（mod3）时的排序方式略。
C
B C B C B C
B B B
C C/B B/C C
B B
C B/C A C C/B C
C B B A
B A
C/B C A B/C
C A C C
B B B
A A/A C/B B
A A B/C A C
A B B A
C C
当n=2时，不同的染色方法种数a2=6，
当n=3时，不同的染色方法种数a3=6，
当n=4时，分扇形区域1，3同色与异色两种情形
∴不同的染色方法种数a4=3×1×2×2+3×2×1×1=18
（Ⅱ）依次对扇形区域1，2，3，…n，n+1染色，不同的染色方法种数为3×2^n，其中扇形区域1与n+1不同色的有an+1种，扇形区域1与n+1同色的有an种
∴an+an+1=3×2^n（n≥2）
（Ⅲ）∵an+an+1=3×2^n（n≥2）
∴a2+a3=3×2^2
a3+a4=3×2^3
…
an-1+an=3×2^n-1将上述n-2个等式两边分别乘以（-1）k（k=2，3…n-1），再相加，得
a2+（-1）^n-1an=3×2^2-3×2^3+…+3×（-1）k×2^n-1=3×2^2[1-(-2)^n-1]/1-(-2)，
an=2^n+2x(-1)^n-1，从而an=3,（n=1时），an=2^n+2x(-1)^n-1（n>=2时）。
3的时候只有2种。注意旋转。
没注意到。这么说每一个结果都需除以n。
