Question

在等边△ABC中，点D为AC上一点，连接BD，直线l与AB，BD，BC分别相交于点E、P、F，且角BPF=60°

1）如图1，写出图中所有与△BPF相似的三角形，并选择其中一对给予证明；
（2）若直线l向右平移到图2，图3的位置时（其它条件不变），（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请写出来（不证明），若不成立，请说明理由；
（3）探究：如图1，当BD满足什么条件时（其它条件不变），PF=12PE？请写出探究结果，并说明理由．
（说明：结论中不得含有未标识的字母）

Answer 1

考点：相似三角形的判定；等边三角形的性质．专题：探究型．分析：（1）△EFB和△BDC相似：∠ABC=∠C=60°，∠BEP=∠DBC=60°-∠ABD；△BPF和△BDC相似：∠PBF=∠CBD，∠BPF=∠C=60°；由前面可知△BDC∽△BFP．
（2）结论均成立，证法同（1）．
（3）如果△BPE的面积是△BPF的面积的2倍，那么PE=2PF，根据（1）中得出的△BDC∽△BFP、△BDC∽△EFB，因此△BFP∽△EFB，那么EF：BF=BF：PF，BF2=EF�6�1PF，BF=2PF，又有BE：BP=EF：BF，BF=根号三PF，因此BF：PF=根号三=tan60°，而∠BPF=60°，所以∠BFP=90°，∠PBF=30°，因此∠EBP=30°，因此BD平分∠ABC．解答:解：（1）△BDC∽△BFP、△BDC∽△EFB．
以△BDC∽△BFP以为例，证明如下：
∵∠C=∠BPF=60°，∠CBD=∠PBF，
∴△BDC∽△BFP．
（2）结论均成立，△BDC∽△BFP、△BDC∽△EFB．
3）BD平分∠ABC时，△BPE的面积是△BPF的面积的2倍．
证明：∵BD平分∠ABC，
∴∠ABP=∠PBF=30°．
∵∠BPF=60°，
∴∠BFP=90°．

∴PF=1/2PB．又∵∠BEP=∠PBE=30°，
∴PE=PB．

∴PF=1/2PE．∴△BPE的面积是△BPF的面积的2倍．点评：本题主要考查了等边三角形的性质和相似三角形的判定等知识点，（3）中根据相似三角形得出相关线段的比例关系是解题的关键．

Answer 2

(1)
△EBF,△BCD与△BPF相似
下面证明△EBF和△BPF相似
因为∠BPF=60°=∠EBF,∠EFB=∠BFP
所以△EBF∽△BPF
(2)
（1）中的结论是否仍然成立,△EBF,△BCD与△BPF相似

(3)BD平分∠ABC时,PF=1/2PE
因为∠ABP=∠PBF=30°,∠BPF=60°
所以∠BFP=90°
又∠BEF=60°-30°=30°=∠ABP
所以BP=EP
所以PF=1/2BP=1/2PE