数学中有哪些著名的悖论?求解
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1-1 谎言者悖论
公元前六世纪,哲学家克利特人艾皮米尼地斯(Epimenides):“所有克利特人都说谎,他们中间的一个诗人这么说。”这就是这个著名悖论的来源。 《圣经》里曾经提到:“有克利特人中的一个本地中先知说:‘克利特人常说谎话,乃是恶兽,又馋又懒’”(《提多书》第一章)。可见这个悖论很出名,但是保罗对于它的逻辑解答并没有兴趣。 人们会问:艾皮米尼地斯有没有说谎?这个悖论最简单的形式是:
1-2 “我在说谎”
如果他在说谎,那么“我在说谎”就是一个谎,因此他说的是实话;但是如果这是实话,他又在说谎。矛盾不可避免。它的一个翻版:
1-3 “这句话是错的”
这类悖论的一个标准形式是:如果事件A发生,则推导出非A,非A发生则推导出A,这是一个自相矛盾的无限逻辑循环。拓扑学中的单面体是一个形像的表达。 哲学家罗素曾经认真地思考过这个悖论,并试图找到解决的办法。他在《我的哲学的发展》第七章《数学原理》里说道:“自亚里士多德以来,无论哪一个学派的逻辑学家,从他们所公认的前提中似乎都可以推出一些矛盾来。这表明有些东西是有毛病的,但是指不出纠正的方法是什么。在1903年的春季,其中一种矛盾的发现把我正在享受的那种逻辑蜜月打断了。” 他说:谎言者悖论最简单地勾画出了他发现的那个矛盾:“那个说谎的人说:‘不论我说什么都是假的’。事实上,这就是他所说的一句话,但是这句话是指他所说的话的总体。只是把这句话包括在那个总体之中的时候才产生一个悖论。” (同上) 罗素试图用命题分层的办法来解决:“第一级命题我们可以说就是不涉及命题总体的那些命题;第二级命题就是涉及第一级命题的总体的那些命题;其余仿此,以至无穷。”但是这一方法并没有取得成效。“1903年和1904年这一整个时期,我差不多完全是致力于这一件事,但是毫不成功。”(同上) 《数学原理》尝试整个纯粹的数学是在纯逻辑的前提下推导出来的,并且使用逻辑术语说明概念,回避自然语言的歧意。但是他在书的序言里称这是:“发表一本包含那么许多未曾解决的争论的书。”可见,从数学基础的逻辑上彻底地解决这个悖论并不容易。 接下来他指出,在一切逻辑的悖论里都有一种“反身的自指”,就是说,“它包含讲那个总体的某种东西,而这种东西又是总体中的一份子。”这一观点比较容易理解,如果这个悖论是克利特以为的什么人说的,悖论就会自动消除。但是在集合论里,问题并不这么简单。
1-4 理发师悖论
在萨维尔村,理发师挂出一块招牌:“我只给村里所有那些不给自己理发的人理发。”有人问他:“你给不给自己理发?”理发师顿时无言以对。 这是一个矛盾推理:如果理发师不给自己理发,他就属于招牌上的那一类人。有言在先,他应该给自己理发。 反之,如果这个理发师给他自己理发,根据招牌所言,他只给村中不给自己理发的人理发,他不能给自己理发。 因此,无论这个理发师怎么回答,都不能排除内在的矛盾。这个悖论是罗素在一九○二年提出来的,所以又叫“罗素悖论”。这是集合论悖论的通俗的、有故事情节的表述。显然,这里也存在着一个不可排除的“自指”问题。
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2011-03-27 03:28
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8一个关于数学归纳法的悖论问题:到底是第N天有N个红眼睛自杀...
10【数学】各智力题,变态题,悖论收集于此
81一个关于数学归纳法的悖论问题:
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2-2 二分法悖论
这也是芝诺提出的一个悖论:当一个物体行进一段距离到达D,它必须首先到达距离D的二分之一,然后是四分之一、八分之一、十六分之一、以至可以无穷地划分下去。因此,这个物体永远也到达不了D。 这些结论在实践中不存在,但是在逻辑上无可挑剔。 芝诺甚至认为:“不可能有从一地到另一地的运动,因为如果有这样的运动,就会有‘完善的无限’,而这是不可能的。”如果阿基里斯事实上在T时追上了乌龟,那么,“这是一种不合逻辑的现象,因而决不是真理,而仅仅是一种欺骗”。这就是说感官是不可靠的,没有逻辑可靠。 他认为:“穷尽无限是绝对不可能的”。根据这个运动理论,芝诺还提出了一个类似的运动佯谬:
2-3 “飞矢不动”
在芝诺看来,由于飞箭在其飞行的每个瞬间都有一个瞬时的位置,它在这个位置上和不动没有什么区别。那么,无限个静止位置的总和就等于运动了吗?或者无限重复的静止就是运动?中国古代也有类似的说法,如:
2-4 “飞鸟之景,未尝动也”
这是中国名家惠施的命题,与“飞矢不动”同工异曲。这就是不可抗拒的推理和不可回避的实事相冲突。 德国哲学家尼采在《希腊悲剧时代的哲学》里有一章《可疑的悖论》,称芝诺的悖论为“否定感官的悖论”。尽管阿基里斯在赛跑中追上起步领先的乌龟完全合乎事实,但为什么“不合逻辑”?因为芝诺运用了“无限”这个概念,这是一种逻辑上的假设,而现实世界里是不可能有无限者存在的,这就出现了假设与现实的矛盾。 尼采说道:在这两个悖论里,“无限”被利用来作为化解现实的硝酸。如果无限是决不可能成为完善的,静止决不可能变为运动,那么,真相是箭完全没有飞动,它完全没有移位,没有脱离静止状态,时间并没有流逝。 换句话讲,在这个所谓的、终究只是冒牌的现实中,既没有时间、空间,也没有运动。最后,连箭本身也是一个虚象,因为它来自多样性,来自由感官唤起的非一的幻象。下面是尼采的分析: 假定箭拥有一种存在,那么,它就是不动的、非时间的、非造而有的、固定的、永恒的。这是一个荒谬的观念! 假定运动是真正的实在,那么,就不存在静止。因而,箭没有位置、没有空间。又是一个荒谬的观点! 假定时间是实在的,那么,它就不可能被无限地分割。箭飞行所需要的时间必定由一个有限数目的瞬间组成,其中每个瞬间都必定是一个原子。仍然是一个荒谬的观念! 尼采得出这样的结论:我们的一切观念,只要其经验所与的、汲自这个直观世界的内容被当作“永恒真理”,就会陷入矛盾。如果有绝对运动,就不会有空间;如果有绝对空间,就不会有运动;如果有绝对存在,就不会有多样性;如果有绝对的多样性,就不会有统一性。 事实上,这两个悖论中提到的这个“动与不动”的对立统一,今天都已经得到了完美的解决,这就是极限理论的诞生。牛顿在运动学研究时,初创微积分,但由于没有巩固的理论基础,出现了历史上的“第二次数学危机”。十九世纪初,法国科学家以柯西为首建立了极限理论,后来又经过德国数学家维尔斯特拉斯进一步的严格化,使极限理论成为微积分的坚定基础,运动问题也得到了合理的解释。 可以想见,在微积分和极限理论发明或被接受以前,人们很难解释这一运动佯谬。感官不同于思维,当希腊人用概念来判决现实的时候,如果逻辑与现实发生矛盾,芝诺指责感官为“欺骗”。当思维找不到合理解释的时候,直观的形式、象征或比喻都无济于事。尼采的分析虽然详细、精辟,但他无法把它们综合起来。
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2-5 “一尺之捶,日取其半,万世不竭”
这是《庄子·天下》中惠施的一句名言。二千多年前中国古人同样运用了无限的概念。 战国名家宋国人惠施(约公元前370-前310)曾任梁国的宰相,论辩奇才,是庄子的朋友,和公孙龙并列为名家的代表人物。他的著作多已亡佚,只能从其他诸家的论述中看到他的言行片段。 惠施的学说强调万物的共相,因而事物之间的差异只是一种相对的概念,现存与惠施有关的奇怪命题,例如,“山与泽平”、“卵有毛”、“鸡三足”、“犬可以为牛”、“火不热”、“矩不方”、“白狗黑”、“孤驹未尝有母”等,都可以说是悖论,但是大部份没有留下具体的争辩过程。惠施的悖论在西方也很有影响。 毛泽东从辩证法的角度基本接受惠施无限可分的观点。一九***年八月十八日,他同哲学工作者谈话时说:“列宁讲过,凡事可分。举原子为例,不但原子可分,电子也可分。”又说:“电子本身到现在还没有分裂,总有一天能分裂的。‘一尺之捶,日取其半,万世不竭’,这是个真理。不信,就试试看。如果有竭就没有科学了。” 有人注意到,毛泽东十分偏爱这句话,如五十年代中期对家钱三强,一九***年八月同周培源、于光远,一九七三年、一九七四年接见杨振宁、李政道,等等,都提到这句话。?
2-6 “点一样多?”
“1厘米线段内的点与太平洋面上的点一样多” 多少哲学家、数学家都唯恐陷入悖论而退避三舍。二十三岁获博士学位的德国数学家康托尔(1845-1918)六年以后向无穷宣战。他成功地证明了:一条直线上的点能够和一个平面上的点一一对应,也能和空间中的点一一对应。由于无限,1厘米长的线段内的点,与太平洋面上的点,以及整个地球内部的点都“一样多”。 然而,康托尔的“无穷集合”与传统的数学观念发生冲突,遭到谩骂。直到一八九七年第一次国际数学家会议,他的成果才得到承认,几乎全部数学都以集合论为基础。罗素称赞他的工作“可能是这个时代所能夸耀的最巨大的工作。” 同时,集合论中也出现了一些自相矛盾的现象,尤其是罗素的理发师悖论,以极为简明的形式震撼了数学的基础,这就是“第三次数学危机”。此后,数学家们进行了不懈地探讨。 例如,一九九六年英国剑桥大学出版社出版了亨迪卡的《数学原理的重新考察》,这本书以罗素的《数学原理》(1903)为蓝本的,试图完善逻辑和数学基础。它主要阐述了亨迪卡和桑朵新创的IF(Independence-Friendly First-Order Logic)逻辑及其可能产生的影响。它挑战了许多公认的观念,如公理集合论作为数学理论的适当框架,对说谎者悖论也作了进一步的探讨。它是否将引 起一场逻辑和数学基础的革命?我们还将拭目以待. 这是第二部份:由一因多果片面推理引致的悖论和由名实相悖引起的悖 论。 (三)由一因多果片面推理引致的悖论 这种形式的悖论类似于诡辩。诡辩在现实中是令人厌恶的,但是在逻辑学的探讨中有相当的位置。孔多塞说:“希腊人滥用日常语言的各种弊端,玩弄字词的意义、以便在可悲的模棱两可之中困搅人类的精神。可是,这种诡辩却也赋予了人类的精神以一种精致性,同时它又耗尽了他们的力量来反对虚幻的难题。” 古希腊哲学流派中曾经有一个诡辩学派,又叫智者派。他们对自然哲学持怀疑态度,认为世界上没有绝对不变的真理。前面提到的普洛道格拉斯(Protagras,约公元前485-前410)是其著名的代表人物,他认为:“ 人是衡量万物的尺度。”雅典政府因其主张无神论,予以驱逐并焚烧了他的书籍。 从苏格拉底到亚里斯多德都反对诡辩学说,黑格尔说,苏格拉底常运用他的辩证法去攻击诡辩学派,尤其是普洛道格拉斯。尽管这些智者的理论多已失传,我们仍然可以从亚里斯多德的《形而上学》(吴寿彭译)中了解一些当时的论辩。 根据亚里斯多德的记载,柏拉图(Plato,公元前427-前347)曾说:诡辩是专讨论“无事物”的,因为诡辩派的论题老是纠缠于事物的属性。例如,“文明的”与“读书的”为同抑异,“文明的哥里斯可”与“哥里斯可” 是否相同?以及每一事物并不常是而今是者,是否便当成是,由兹而引致(悖解) 的结论(同上)。 斥形式逻辑而提倡辩证法的黑格尔(1770-1831)说柏拉图发明了辩证法。“柏拉图运用辩证法以指出一切固定的知性规定的有限性。他从一推演出多,但仍然指出多之所以为多,复只能规定为一。”(《小逻辑》) 亚里斯多德认为:凡现存的事物其生成与消失必有一个过程,而属性事物则不然。
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4楼
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不离汝心
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然而,我们还得尽可能地追踪偶然属性之本质与其来由;也许因此可得明白何以不能成立有关属性的学术(《形而上学》卷六章二)。在他看来,诡辩理论就是“有关属性的学术”而不是“属性之本质与其来由”。 诡辩完善的是学术体系,而不是知识。孔多塞在《人类精神进步史表纲要人类精神进步史表纲要》(何兆武、何冰译)的《第四个时代》中说:然而希腊的智者和希腊的学人, “并没有发现真理,反而是在铸造各种体系;他们忽视了对事实的观察,为的是自己好投身于自己的想象之中;他们既然无法把自己的意见置于证明的基础之上,便力图以诡辩来维护它们。” 可见,诡辩学派的致命点就是忽略“本质”而纠缠“属性”,从现存的事物中推论出悖解的结论来,而不详细考察事物的真实,在实践的基础上加以证明。对付诡辩最好的方式是运用辩证法并在实践中加以考证。
3-1 “什么是诡辩?”
有学生问他的希腊老师:“什么是诡辩?”老师反问到:“有甲乙两人,甲很干净,乙很脏。如果请他们洗澡,他们中间谁会洗?” 这里有四种可能,一是甲洗,因为他有爱干净的习惯;二是乙洗,因为他需要;三是两人都洗,一个是因为习惯,另一个是因为需要;四是两人都没洗,因为脏人没有洗澡的习惯,干净人不需要洗。这四种可能彼此相悖,无论学生作出怎样的回答,老师都可以予以反驳,因为他不需要有一个客观的标准,这就是诡辩。
3-2 “父在母先亡”
这是一个可以自圆其说的乩语。它也有四种解释:一是“父在,母先亡”;二是“父在母之先亡”;三是如果父母健在,可以解释为将来;四是即使父母都去世了,也可以解释为“父亲在的时候,母亲就去世了。”或者是“父亲在母亲以前就去世了。”真是左右逢源。 从逻辑顺序上看,上面这两个例子正好是反其道而用。无论正命题还是反命题都可以根据所谓的客观理由进行诡辩,形成自圆其说或诘难。所以葛拉西安在《智慧书:永恒的处世经典》中说:“诡辩是一种欺骗,乍一听,它蛮有道理,并因其刺激、新奇而令人心惊,但随后,当其虚饰之伪装被揭穿,就会自取其辱。”
3-3 邓析赎尸诡论
《吕氏春秋》记载了这样一个故事:洧水发了大水,淹死了郑国富户家的一员。尸体被别人打捞起来,富户的家人要求赎回。然而捞到尸体的人要价太高,富户的家人不愿接受,他们找邓析出主意。邓析说:“不用着急,除你之外,他还会卖给谁?”捞到尸体的人等得急了,也去找邓析要主意。邓析却回答:“不要着急,他不从你这里买,还能从谁那里买?” 邓析生在春秋末年,与老子和孔子基本同时,是战国名家的鼻祖,著名的讼师,他的著作已经失传。 同一个事实,邓析却推出了两个相反的结论,每一个听起来都合乎逻辑,但合在一起就荒谬了。邓析是不是希望他们相持一段时间后,双方都可以找到一个可以接受的价格平衡点?我们只能猜测。 后来,邓析被杀,就是因为子产认为他“以非为是,以是为非,是非无度,而可与不可日变”。可见,邓析是一个没有原则的人。身为讼师,邓析善于辞辩,而不跳出诡论寻找客观的解决办法。严谨的逻辑推理固然具有说服性,但最终还是要回到现实中来。
3-4 公孙龙论秦赵之约
《吕氏春秋》介绍过公孙龙的一个诡论:秦国与赵国订立条约:今后,秦国想做的,赵国帮助;赵国想做的,秦国帮助。不久,秦国兴师攻打魏国,赵国打算援救。秦王不高兴,差人对赵王说:秦国想做的,赵国帮助;赵国想做的,秦国帮助。现在秦国要打魏国,而赵国援救他们,这是违约。赵王把这个消息转告给平原君,平原君向公孙龙请教。公孙龙回答:“赵王也可以派人对秦王说:赵国打算援救魏国,现在秦国却不帮助赵国,这也不合乎条约。” 不管这个寓言的真实性如何,他的推理无懈可击。公孙龙对于秦赵之约的回应,与邓析赎尸诡论一脉相承。但公孙龙是站在弱小的赵魏这一边反对强秦的。 3-5 “彼亦一是非,此亦一是非。” 这是《庄子·齐物论》中的一句话,以强调事物的相对性而著称,比如,人睡在潮湿的地方会腰疼,但泥鳅会腰疼吗?人爬到高树上会胆怯,猿猴会胆怯吗?于是,他的结论是:“彼亦一是非,此亦一是非。”各有各的相对标准。 《团结报》曾经刊登过一篇一勺的《名师出高徒》。说康白情1919年前在北京大学选修马叙伦先生的“老庄哲学”,没有一次不迟到。有一次,马叙伦责问康白情为什么姗姗来迟。康白情回答:“住得太远。”马先生不以为然,反问道:从你的住处走到这里只要三、五分钟,怎么叫太远!康白情也不示弱,说:先生讲庄子,庄子说:“彼亦一是非,此亦一是非”。先生不以为远,而我以为远。
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5楼
2011-03-27 03:28
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蟑螂在咆哮18: 你好楼主,你少了3-5,能不能麻烦你发下,这段没看到我都急死了。谢谢楼主,楼主好人!
2012-11-25 23:29回复
我也说一句
不离汝心
灭虫达人
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马叙伦一时无话可说。
3-6 “我没有受贿”
一个商人被控受贿。他宣称:“我没有受贿。” 显然,这个商人既是观察者也是被观察者。我们不知道他是以观察者的身份进行辩护,还是以被观察者的身份进行诡辩。这两种推论都合乎逻辑,如果没有别的证据,就不能判决(引自“Web Dictionary of Cybernetics and Systems”)。
3-7 囚犯诡论
甲乙两人偷东西,人赃俱物。他们被分开审问,可能的惩罚如下: 甲否认乙否认:甲、乙各一年监禁 甲否认乙承认:乙释放、甲五年监禁 甲承认乙否认:甲释放、乙五年监禁 甲承认乙承认:甲、乙各三年监禁 甲乙二囚犯都会想到对自己最有利的去做:以甲而言,甲若承认,最多三年监禁,如果乙也承认;双方都监禁三年;如果乙否认,甲马上获得自由。这个结果并不坏。这是博弈,乙也会同样这么想。如果甲改变主意,将冒监禁五年,而乙却获得自由;反之也一样。如果双方都改变主意,各监禁一年,也可以达到“共利”。 但是,这一决策的过程可能是无限的理性推理:假如我选择“共利”策略,我必定相信对方也将选择“共利”策略;假如我选择“私利”策略,对方也会选择“私利” 策略予以防范。这个“推己及人,推人及己”的过程可以无限地推下去,他的极限状态在博弈论里叫做“共享知识(CommonKnowledge)”,但是没有人可以达到这个状态,囚犯也摆脱不了这个悖论。 (四)由名实相悖引起的悖论 古代中国有不少经典的悖论都来自名家。名家是战国时期的一个学派,他们的学说在于循名责实,但结果也往往被认为是流于诡辩。名家始于邓析,后有惠施、公孙龙等大家。 在古希腊,亚里斯多德认为:辩证家与诡辩派穿着与哲学家相同的服装,但不是一回事。对于诡辩术,智慧只是貌似而已,辩证家则将一切事物囊括于他们的辩证法中,而“实是”也是他们所共有的一个论题;因而辩证法也包含了原属于哲学的这些主题。诡辩术和辩证法谈论与哲学上同类的事物,但哲学毕竟异于辩证法者由于才调不同,哲学毕竟异于诡辩术者则由学术生活的目的不同。哲学在切求真知时,辩证法专务批评;至于诡辩术尽管貌似哲学,终非哲学(《形而上学》卷四章一)。 冯友兰先生在《中国哲学简史》第八章《名家》里有专门的讨论。他认为,中国的“名家”不完全等同于西方的诡辩家、逻辑家或辩证家。如果说古希腊的辩证家和诡辩派专攻属性而不是本质的话,那么名家则在于研究“名”与“实”的关系,而且重“名”甚于重“实”是他们的精神实质。这里的 “名实”就是名目与实际。冯友兰认为中国的名家应该翻译为“School of Name”以示区别,我在《不列颠百科全书》上看到的正是这样翻译的。 名与实关系的争论对中国哲学的影响巨大,如“孔子有正名、老子有无名、墨子有取实予名的争辩”。除名家以为,荀子对古逻辑学的贡献也很大。 公孙龙的辩论执名为实,“专决于名”而不落实到经验的事物,看看他的雄辩,就会发现一些奇怪的问题。《庄子·秋水篇》提到,公孙龙曾经自夸:“困百家之知,穷众口之辩”。
4-1 “白马非马”
战国时赵国人公孙龙曾经著有《公孙龙子》一书,平原君礼遇甚厚。其“白马非马”和“坚白异同之辩”都是他的著名命题。 据说,公孙龙有一次骑马过关,把关的人对他说:“法令规定马不许过。”公孙龙回答说:“我骑的是白马,白马不是马,这可是两回事啊。”公孙龙的“白马”有没有过关,我们不得而知。从常人的观点来看,守关的兵士八成认为公孙龙是在诡辩。这也是一个逻辑上“莫能与辩”,现实中不能成立的例子。 冯友兰认为《公孙龙子》里的《白马论》对“白马非马”进行了三点论证: 一是强调“马”、“白”、“白马”的内涵不同。“马”的内涵是一种动物,“白”的内涵是一种颜色,“白马”的内涵是一种动物加一种颜色。三者内涵各不相同,所以白马非马。 二是强调“马”、“白马”的外延的不同。“马”的外延包括一切马,不管其颜色的区别;“白马”的外延只包括白马,有颜色区别。外延不同,所以白马非马。 三是强调“马”这个共相与“白马”这个共相的不同。马的共相,是一切马的本质属性,它不包涵颜色,仅只是“马作为马”。共性不同,“马作为马”与“白马作为白马”不同。所以白马非马。 前面我们说到,辩证法是在对付诡辩论的过程中发展起来的。
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6楼
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不离汝心
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黑格尔在《小逻辑》中说:“辩证法切不可与单纯的诡辩相混淆。诡辩的本质在于孤立起来看事物,把本身片面的、抽象的规定,认为是可靠的。”(《逻辑学概念的进一步规定和部门划分》) 从辩证法的角度看,“白马非马”割断了个别和一般的关系。白马属于个性,特指白颜色的马;马属于一般,具有各种颜色马的共性。公孙龙区分了它们之间的差别,但是又绝对化了这种差别。白马尽管颜色上不同于其他的马,如公孙龙提到的黄马、黑马,但仍然是马。作为共性的“马”寓于作为个性的“白马”之中。“马”作为一般的范畴,包括各种颜色的马,公孙龙的白马自然也不例外。
4-2 “杀盗非杀人也”
这个命题与“白马非马”何其相似,尽管论证的方法和目的不同。荀子把墨辩“杀盗非杀人也”归入“惑于用名以乱名”的诡辩。荀子认为,在外延方面“人”的范畴包含了“盗”的范畴。所以,说“盗”的时候,就意味着说他同时也是“人”;杀“盗”也是杀人。
4-3 坚白石论
坚白石论指一块“坚白石”,它有坚、白、石三个要素组成。公孙龙主张“坚”为石头的特性,“白”为石头的颜色。眼睛看到的这块石头是白色的,手触摸到的这块石头才知到它是坚硬的;白色由视觉而得,坚硬由触觉而来,坚与白不能同时被认知。因此,公孙龙认为就一块坚白石而言,人不可能同时认识到其中三个组成要素:坚、白、石,而只能是坚石或白石。 这是从感知的角度来证明坚、白彼此分离,是分析方法的早期运用。“离坚白之辩”是古代中国的一个著名命题,习惯上人们并不接受,但是对于名家自身来讲,如果没有精密的思考,也不可能提出这些深刻的问题。 尽管名家在逻辑上的辩论天下无敌手,但是遭到诸家反对。庄子说他们:“饰人之心,易人之意,能胜人之口,不能服人之心,辩者之囿也。”《荀子》也认为:“虽辩,君子不听。”这的确是名家的吊诡。 中国古有名辩逻辑,唐代传入印度因明,近代又引进了西方逻辑,成为世界三大逻辑的汇合点。黑格尔在《小逻辑》里说:“一说到诡辩我们总以为这只是一种歪曲正义和真理,从一种谬妄的观点去表述事物的思想方式。但这并不是诡辩的直接的倾向。诡辩派原来的观点不是别的,只是一种‘合理化论辩’的观点。”这是针对古希腊人说的,对中国的名家来讲,同样适合。
参考资料来自http://tieba.baidu.com/p/1035637075
公元前六世纪,哲学家克利特人艾皮米尼地斯(Epimenides):“所有克利特人都说谎,他们中间的一个诗人这么说。”这就是这个著名悖论的来源。 《圣经》里曾经提到:“有克利特人中的一个本地中先知说:‘克利特人常说谎话,乃是恶兽,又馋又懒’”(《提多书》第一章)。可见这个悖论很出名,但是保罗对于它的逻辑解答并没有兴趣。 人们会问:艾皮米尼地斯有没有说谎?这个悖论最简单的形式是:
1-2 “我在说谎”
如果他在说谎,那么“我在说谎”就是一个谎,因此他说的是实话;但是如果这是实话,他又在说谎。矛盾不可避免。它的一个翻版:
1-3 “这句话是错的”
这类悖论的一个标准形式是:如果事件A发生,则推导出非A,非A发生则推导出A,这是一个自相矛盾的无限逻辑循环。拓扑学中的单面体是一个形像的表达。 哲学家罗素曾经认真地思考过这个悖论,并试图找到解决的办法。他在《我的哲学的发展》第七章《数学原理》里说道:“自亚里士多德以来,无论哪一个学派的逻辑学家,从他们所公认的前提中似乎都可以推出一些矛盾来。这表明有些东西是有毛病的,但是指不出纠正的方法是什么。在1903年的春季,其中一种矛盾的发现把我正在享受的那种逻辑蜜月打断了。” 他说:谎言者悖论最简单地勾画出了他发现的那个矛盾:“那个说谎的人说:‘不论我说什么都是假的’。事实上,这就是他所说的一句话,但是这句话是指他所说的话的总体。只是把这句话包括在那个总体之中的时候才产生一个悖论。” (同上) 罗素试图用命题分层的办法来解决:“第一级命题我们可以说就是不涉及命题总体的那些命题;第二级命题就是涉及第一级命题的总体的那些命题;其余仿此,以至无穷。”但是这一方法并没有取得成效。“1903年和1904年这一整个时期,我差不多完全是致力于这一件事,但是毫不成功。”(同上) 《数学原理》尝试整个纯粹的数学是在纯逻辑的前提下推导出来的,并且使用逻辑术语说明概念,回避自然语言的歧意。但是他在书的序言里称这是:“发表一本包含那么许多未曾解决的争论的书。”可见,从数学基础的逻辑上彻底地解决这个悖论并不容易。 接下来他指出,在一切逻辑的悖论里都有一种“反身的自指”,就是说,“它包含讲那个总体的某种东西,而这种东西又是总体中的一份子。”这一观点比较容易理解,如果这个悖论是克利特以为的什么人说的,悖论就会自动消除。但是在集合论里,问题并不这么简单。
1-4 理发师悖论
在萨维尔村,理发师挂出一块招牌:“我只给村里所有那些不给自己理发的人理发。”有人问他:“你给不给自己理发?”理发师顿时无言以对。 这是一个矛盾推理:如果理发师不给自己理发,他就属于招牌上的那一类人。有言在先,他应该给自己理发。 反之,如果这个理发师给他自己理发,根据招牌所言,他只给村中不给自己理发的人理发,他不能给自己理发。 因此,无论这个理发师怎么回答,都不能排除内在的矛盾。这个悖论是罗素在一九○二年提出来的,所以又叫“罗素悖论”。这是集合论悖论的通俗的、有故事情节的表述。显然,这里也存在着一个不可排除的“自指”问题。
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6
2-2 二分法悖论
这也是芝诺提出的一个悖论:当一个物体行进一段距离到达D,它必须首先到达距离D的二分之一,然后是四分之一、八分之一、十六分之一、以至可以无穷地划分下去。因此,这个物体永远也到达不了D。 这些结论在实践中不存在,但是在逻辑上无可挑剔。 芝诺甚至认为:“不可能有从一地到另一地的运动,因为如果有这样的运动,就会有‘完善的无限’,而这是不可能的。”如果阿基里斯事实上在T时追上了乌龟,那么,“这是一种不合逻辑的现象,因而决不是真理,而仅仅是一种欺骗”。这就是说感官是不可靠的,没有逻辑可靠。 他认为:“穷尽无限是绝对不可能的”。根据这个运动理论,芝诺还提出了一个类似的运动佯谬:
2-3 “飞矢不动”
在芝诺看来,由于飞箭在其飞行的每个瞬间都有一个瞬时的位置,它在这个位置上和不动没有什么区别。那么,无限个静止位置的总和就等于运动了吗?或者无限重复的静止就是运动?中国古代也有类似的说法,如:
2-4 “飞鸟之景,未尝动也”
这是中国名家惠施的命题,与“飞矢不动”同工异曲。这就是不可抗拒的推理和不可回避的实事相冲突。 德国哲学家尼采在《希腊悲剧时代的哲学》里有一章《可疑的悖论》,称芝诺的悖论为“否定感官的悖论”。尽管阿基里斯在赛跑中追上起步领先的乌龟完全合乎事实,但为什么“不合逻辑”?因为芝诺运用了“无限”这个概念,这是一种逻辑上的假设,而现实世界里是不可能有无限者存在的,这就出现了假设与现实的矛盾。 尼采说道:在这两个悖论里,“无限”被利用来作为化解现实的硝酸。如果无限是决不可能成为完善的,静止决不可能变为运动,那么,真相是箭完全没有飞动,它完全没有移位,没有脱离静止状态,时间并没有流逝。 换句话讲,在这个所谓的、终究只是冒牌的现实中,既没有时间、空间,也没有运动。最后,连箭本身也是一个虚象,因为它来自多样性,来自由感官唤起的非一的幻象。下面是尼采的分析: 假定箭拥有一种存在,那么,它就是不动的、非时间的、非造而有的、固定的、永恒的。这是一个荒谬的观念! 假定运动是真正的实在,那么,就不存在静止。因而,箭没有位置、没有空间。又是一个荒谬的观点! 假定时间是实在的,那么,它就不可能被无限地分割。箭飞行所需要的时间必定由一个有限数目的瞬间组成,其中每个瞬间都必定是一个原子。仍然是一个荒谬的观念! 尼采得出这样的结论:我们的一切观念,只要其经验所与的、汲自这个直观世界的内容被当作“永恒真理”,就会陷入矛盾。如果有绝对运动,就不会有空间;如果有绝对空间,就不会有运动;如果有绝对存在,就不会有多样性;如果有绝对的多样性,就不会有统一性。 事实上,这两个悖论中提到的这个“动与不动”的对立统一,今天都已经得到了完美的解决,这就是极限理论的诞生。牛顿在运动学研究时,初创微积分,但由于没有巩固的理论基础,出现了历史上的“第二次数学危机”。十九世纪初,法国科学家以柯西为首建立了极限理论,后来又经过德国数学家维尔斯特拉斯进一步的严格化,使极限理论成为微积分的坚定基础,运动问题也得到了合理的解释。 可以想见,在微积分和极限理论发明或被接受以前,人们很难解释这一运动佯谬。感官不同于思维,当希腊人用概念来判决现实的时候,如果逻辑与现实发生矛盾,芝诺指责感官为“欺骗”。当思维找不到合理解释的时候,直观的形式、象征或比喻都无济于事。尼采的分析虽然详细、精辟,但他无法把它们综合起来。
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2011-03-27 03:28
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2-5 “一尺之捶,日取其半,万世不竭”
这是《庄子·天下》中惠施的一句名言。二千多年前中国古人同样运用了无限的概念。 战国名家宋国人惠施(约公元前370-前310)曾任梁国的宰相,论辩奇才,是庄子的朋友,和公孙龙并列为名家的代表人物。他的著作多已亡佚,只能从其他诸家的论述中看到他的言行片段。 惠施的学说强调万物的共相,因而事物之间的差异只是一种相对的概念,现存与惠施有关的奇怪命题,例如,“山与泽平”、“卵有毛”、“鸡三足”、“犬可以为牛”、“火不热”、“矩不方”、“白狗黑”、“孤驹未尝有母”等,都可以说是悖论,但是大部份没有留下具体的争辩过程。惠施的悖论在西方也很有影响。 毛泽东从辩证法的角度基本接受惠施无限可分的观点。一九***年八月十八日,他同哲学工作者谈话时说:“列宁讲过,凡事可分。举原子为例,不但原子可分,电子也可分。”又说:“电子本身到现在还没有分裂,总有一天能分裂的。‘一尺之捶,日取其半,万世不竭’,这是个真理。不信,就试试看。如果有竭就没有科学了。” 有人注意到,毛泽东十分偏爱这句话,如五十年代中期对家钱三强,一九***年八月同周培源、于光远,一九七三年、一九七四年接见杨振宁、李政道,等等,都提到这句话。?
2-6 “点一样多?”
“1厘米线段内的点与太平洋面上的点一样多” 多少哲学家、数学家都唯恐陷入悖论而退避三舍。二十三岁获博士学位的德国数学家康托尔(1845-1918)六年以后向无穷宣战。他成功地证明了:一条直线上的点能够和一个平面上的点一一对应,也能和空间中的点一一对应。由于无限,1厘米长的线段内的点,与太平洋面上的点,以及整个地球内部的点都“一样多”。 然而,康托尔的“无穷集合”与传统的数学观念发生冲突,遭到谩骂。直到一八九七年第一次国际数学家会议,他的成果才得到承认,几乎全部数学都以集合论为基础。罗素称赞他的工作“可能是这个时代所能夸耀的最巨大的工作。” 同时,集合论中也出现了一些自相矛盾的现象,尤其是罗素的理发师悖论,以极为简明的形式震撼了数学的基础,这就是“第三次数学危机”。此后,数学家们进行了不懈地探讨。 例如,一九九六年英国剑桥大学出版社出版了亨迪卡的《数学原理的重新考察》,这本书以罗素的《数学原理》(1903)为蓝本的,试图完善逻辑和数学基础。它主要阐述了亨迪卡和桑朵新创的IF(Independence-Friendly First-Order Logic)逻辑及其可能产生的影响。它挑战了许多公认的观念,如公理集合论作为数学理论的适当框架,对说谎者悖论也作了进一步的探讨。它是否将引 起一场逻辑和数学基础的革命?我们还将拭目以待. 这是第二部份:由一因多果片面推理引致的悖论和由名实相悖引起的悖 论。 (三)由一因多果片面推理引致的悖论 这种形式的悖论类似于诡辩。诡辩在现实中是令人厌恶的,但是在逻辑学的探讨中有相当的位置。孔多塞说:“希腊人滥用日常语言的各种弊端,玩弄字词的意义、以便在可悲的模棱两可之中困搅人类的精神。可是,这种诡辩却也赋予了人类的精神以一种精致性,同时它又耗尽了他们的力量来反对虚幻的难题。” 古希腊哲学流派中曾经有一个诡辩学派,又叫智者派。他们对自然哲学持怀疑态度,认为世界上没有绝对不变的真理。前面提到的普洛道格拉斯(Protagras,约公元前485-前410)是其著名的代表人物,他认为:“ 人是衡量万物的尺度。”雅典政府因其主张无神论,予以驱逐并焚烧了他的书籍。 从苏格拉底到亚里斯多德都反对诡辩学说,黑格尔说,苏格拉底常运用他的辩证法去攻击诡辩学派,尤其是普洛道格拉斯。尽管这些智者的理论多已失传,我们仍然可以从亚里斯多德的《形而上学》(吴寿彭译)中了解一些当时的论辩。 根据亚里斯多德的记载,柏拉图(Plato,公元前427-前347)曾说:诡辩是专讨论“无事物”的,因为诡辩派的论题老是纠缠于事物的属性。例如,“文明的”与“读书的”为同抑异,“文明的哥里斯可”与“哥里斯可” 是否相同?以及每一事物并不常是而今是者,是否便当成是,由兹而引致(悖解) 的结论(同上)。 斥形式逻辑而提倡辩证法的黑格尔(1770-1831)说柏拉图发明了辩证法。“柏拉图运用辩证法以指出一切固定的知性规定的有限性。他从一推演出多,但仍然指出多之所以为多,复只能规定为一。”(《小逻辑》) 亚里斯多德认为:凡现存的事物其生成与消失必有一个过程,而属性事物则不然。
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然而,我们还得尽可能地追踪偶然属性之本质与其来由;也许因此可得明白何以不能成立有关属性的学术(《形而上学》卷六章二)。在他看来,诡辩理论就是“有关属性的学术”而不是“属性之本质与其来由”。 诡辩完善的是学术体系,而不是知识。孔多塞在《人类精神进步史表纲要人类精神进步史表纲要》(何兆武、何冰译)的《第四个时代》中说:然而希腊的智者和希腊的学人, “并没有发现真理,反而是在铸造各种体系;他们忽视了对事实的观察,为的是自己好投身于自己的想象之中;他们既然无法把自己的意见置于证明的基础之上,便力图以诡辩来维护它们。” 可见,诡辩学派的致命点就是忽略“本质”而纠缠“属性”,从现存的事物中推论出悖解的结论来,而不详细考察事物的真实,在实践的基础上加以证明。对付诡辩最好的方式是运用辩证法并在实践中加以考证。
3-1 “什么是诡辩?”
有学生问他的希腊老师:“什么是诡辩?”老师反问到:“有甲乙两人,甲很干净,乙很脏。如果请他们洗澡,他们中间谁会洗?” 这里有四种可能,一是甲洗,因为他有爱干净的习惯;二是乙洗,因为他需要;三是两人都洗,一个是因为习惯,另一个是因为需要;四是两人都没洗,因为脏人没有洗澡的习惯,干净人不需要洗。这四种可能彼此相悖,无论学生作出怎样的回答,老师都可以予以反驳,因为他不需要有一个客观的标准,这就是诡辩。
3-2 “父在母先亡”
这是一个可以自圆其说的乩语。它也有四种解释:一是“父在,母先亡”;二是“父在母之先亡”;三是如果父母健在,可以解释为将来;四是即使父母都去世了,也可以解释为“父亲在的时候,母亲就去世了。”或者是“父亲在母亲以前就去世了。”真是左右逢源。 从逻辑顺序上看,上面这两个例子正好是反其道而用。无论正命题还是反命题都可以根据所谓的客观理由进行诡辩,形成自圆其说或诘难。所以葛拉西安在《智慧书:永恒的处世经典》中说:“诡辩是一种欺骗,乍一听,它蛮有道理,并因其刺激、新奇而令人心惊,但随后,当其虚饰之伪装被揭穿,就会自取其辱。”
3-3 邓析赎尸诡论
《吕氏春秋》记载了这样一个故事:洧水发了大水,淹死了郑国富户家的一员。尸体被别人打捞起来,富户的家人要求赎回。然而捞到尸体的人要价太高,富户的家人不愿接受,他们找邓析出主意。邓析说:“不用着急,除你之外,他还会卖给谁?”捞到尸体的人等得急了,也去找邓析要主意。邓析却回答:“不要着急,他不从你这里买,还能从谁那里买?” 邓析生在春秋末年,与老子和孔子基本同时,是战国名家的鼻祖,著名的讼师,他的著作已经失传。 同一个事实,邓析却推出了两个相反的结论,每一个听起来都合乎逻辑,但合在一起就荒谬了。邓析是不是希望他们相持一段时间后,双方都可以找到一个可以接受的价格平衡点?我们只能猜测。 后来,邓析被杀,就是因为子产认为他“以非为是,以是为非,是非无度,而可与不可日变”。可见,邓析是一个没有原则的人。身为讼师,邓析善于辞辩,而不跳出诡论寻找客观的解决办法。严谨的逻辑推理固然具有说服性,但最终还是要回到现实中来。
3-4 公孙龙论秦赵之约
《吕氏春秋》介绍过公孙龙的一个诡论:秦国与赵国订立条约:今后,秦国想做的,赵国帮助;赵国想做的,秦国帮助。不久,秦国兴师攻打魏国,赵国打算援救。秦王不高兴,差人对赵王说:秦国想做的,赵国帮助;赵国想做的,秦国帮助。现在秦国要打魏国,而赵国援救他们,这是违约。赵王把这个消息转告给平原君,平原君向公孙龙请教。公孙龙回答:“赵王也可以派人对秦王说:赵国打算援救魏国,现在秦国却不帮助赵国,这也不合乎条约。” 不管这个寓言的真实性如何,他的推理无懈可击。公孙龙对于秦赵之约的回应,与邓析赎尸诡论一脉相承。但公孙龙是站在弱小的赵魏这一边反对强秦的。 3-5 “彼亦一是非,此亦一是非。” 这是《庄子·齐物论》中的一句话,以强调事物的相对性而著称,比如,人睡在潮湿的地方会腰疼,但泥鳅会腰疼吗?人爬到高树上会胆怯,猿猴会胆怯吗?于是,他的结论是:“彼亦一是非,此亦一是非。”各有各的相对标准。 《团结报》曾经刊登过一篇一勺的《名师出高徒》。说康白情1919年前在北京大学选修马叙伦先生的“老庄哲学”,没有一次不迟到。有一次,马叙伦责问康白情为什么姗姗来迟。康白情回答:“住得太远。”马先生不以为然,反问道:从你的住处走到这里只要三、五分钟,怎么叫太远!康白情也不示弱,说:先生讲庄子,庄子说:“彼亦一是非,此亦一是非”。先生不以为远,而我以为远。
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2011-03-27 03:28
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蟑螂在咆哮18: 你好楼主,你少了3-5,能不能麻烦你发下,这段没看到我都急死了。谢谢楼主,楼主好人!
2012-11-25 23:29回复
我也说一句
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马叙伦一时无话可说。
3-6 “我没有受贿”
一个商人被控受贿。他宣称:“我没有受贿。” 显然,这个商人既是观察者也是被观察者。我们不知道他是以观察者的身份进行辩护,还是以被观察者的身份进行诡辩。这两种推论都合乎逻辑,如果没有别的证据,就不能判决(引自“Web Dictionary of Cybernetics and Systems”)。
3-7 囚犯诡论
甲乙两人偷东西,人赃俱物。他们被分开审问,可能的惩罚如下: 甲否认乙否认:甲、乙各一年监禁 甲否认乙承认:乙释放、甲五年监禁 甲承认乙否认:甲释放、乙五年监禁 甲承认乙承认:甲、乙各三年监禁 甲乙二囚犯都会想到对自己最有利的去做:以甲而言,甲若承认,最多三年监禁,如果乙也承认;双方都监禁三年;如果乙否认,甲马上获得自由。这个结果并不坏。这是博弈,乙也会同样这么想。如果甲改变主意,将冒监禁五年,而乙却获得自由;反之也一样。如果双方都改变主意,各监禁一年,也可以达到“共利”。 但是,这一决策的过程可能是无限的理性推理:假如我选择“共利”策略,我必定相信对方也将选择“共利”策略;假如我选择“私利”策略,对方也会选择“私利” 策略予以防范。这个“推己及人,推人及己”的过程可以无限地推下去,他的极限状态在博弈论里叫做“共享知识(CommonKnowledge)”,但是没有人可以达到这个状态,囚犯也摆脱不了这个悖论。 (四)由名实相悖引起的悖论 古代中国有不少经典的悖论都来自名家。名家是战国时期的一个学派,他们的学说在于循名责实,但结果也往往被认为是流于诡辩。名家始于邓析,后有惠施、公孙龙等大家。 在古希腊,亚里斯多德认为:辩证家与诡辩派穿着与哲学家相同的服装,但不是一回事。对于诡辩术,智慧只是貌似而已,辩证家则将一切事物囊括于他们的辩证法中,而“实是”也是他们所共有的一个论题;因而辩证法也包含了原属于哲学的这些主题。诡辩术和辩证法谈论与哲学上同类的事物,但哲学毕竟异于辩证法者由于才调不同,哲学毕竟异于诡辩术者则由学术生活的目的不同。哲学在切求真知时,辩证法专务批评;至于诡辩术尽管貌似哲学,终非哲学(《形而上学》卷四章一)。 冯友兰先生在《中国哲学简史》第八章《名家》里有专门的讨论。他认为,中国的“名家”不完全等同于西方的诡辩家、逻辑家或辩证家。如果说古希腊的辩证家和诡辩派专攻属性而不是本质的话,那么名家则在于研究“名”与“实”的关系,而且重“名”甚于重“实”是他们的精神实质。这里的 “名实”就是名目与实际。冯友兰认为中国的名家应该翻译为“School of Name”以示区别,我在《不列颠百科全书》上看到的正是这样翻译的。 名与实关系的争论对中国哲学的影响巨大,如“孔子有正名、老子有无名、墨子有取实予名的争辩”。除名家以为,荀子对古逻辑学的贡献也很大。 公孙龙的辩论执名为实,“专决于名”而不落实到经验的事物,看看他的雄辩,就会发现一些奇怪的问题。《庄子·秋水篇》提到,公孙龙曾经自夸:“困百家之知,穷众口之辩”。
4-1 “白马非马”
战国时赵国人公孙龙曾经著有《公孙龙子》一书,平原君礼遇甚厚。其“白马非马”和“坚白异同之辩”都是他的著名命题。 据说,公孙龙有一次骑马过关,把关的人对他说:“法令规定马不许过。”公孙龙回答说:“我骑的是白马,白马不是马,这可是两回事啊。”公孙龙的“白马”有没有过关,我们不得而知。从常人的观点来看,守关的兵士八成认为公孙龙是在诡辩。这也是一个逻辑上“莫能与辩”,现实中不能成立的例子。 冯友兰认为《公孙龙子》里的《白马论》对“白马非马”进行了三点论证: 一是强调“马”、“白”、“白马”的内涵不同。“马”的内涵是一种动物,“白”的内涵是一种颜色,“白马”的内涵是一种动物加一种颜色。三者内涵各不相同,所以白马非马。 二是强调“马”、“白马”的外延的不同。“马”的外延包括一切马,不管其颜色的区别;“白马”的外延只包括白马,有颜色区别。外延不同,所以白马非马。 三是强调“马”这个共相与“白马”这个共相的不同。马的共相,是一切马的本质属性,它不包涵颜色,仅只是“马作为马”。共性不同,“马作为马”与“白马作为白马”不同。所以白马非马。 前面我们说到,辩证法是在对付诡辩论的过程中发展起来的。
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黑格尔在《小逻辑》中说:“辩证法切不可与单纯的诡辩相混淆。诡辩的本质在于孤立起来看事物,把本身片面的、抽象的规定,认为是可靠的。”(《逻辑学概念的进一步规定和部门划分》) 从辩证法的角度看,“白马非马”割断了个别和一般的关系。白马属于个性,特指白颜色的马;马属于一般,具有各种颜色马的共性。公孙龙区分了它们之间的差别,但是又绝对化了这种差别。白马尽管颜色上不同于其他的马,如公孙龙提到的黄马、黑马,但仍然是马。作为共性的“马”寓于作为个性的“白马”之中。“马”作为一般的范畴,包括各种颜色的马,公孙龙的白马自然也不例外。
4-2 “杀盗非杀人也”
这个命题与“白马非马”何其相似,尽管论证的方法和目的不同。荀子把墨辩“杀盗非杀人也”归入“惑于用名以乱名”的诡辩。荀子认为,在外延方面“人”的范畴包含了“盗”的范畴。所以,说“盗”的时候,就意味着说他同时也是“人”;杀“盗”也是杀人。
4-3 坚白石论
坚白石论指一块“坚白石”,它有坚、白、石三个要素组成。公孙龙主张“坚”为石头的特性,“白”为石头的颜色。眼睛看到的这块石头是白色的,手触摸到的这块石头才知到它是坚硬的;白色由视觉而得,坚硬由触觉而来,坚与白不能同时被认知。因此,公孙龙认为就一块坚白石而言,人不可能同时认识到其中三个组成要素:坚、白、石,而只能是坚石或白石。 这是从感知的角度来证明坚、白彼此分离,是分析方法的早期运用。“离坚白之辩”是古代中国的一个著名命题,习惯上人们并不接受,但是对于名家自身来讲,如果没有精密的思考,也不可能提出这些深刻的问题。 尽管名家在逻辑上的辩论天下无敌手,但是遭到诸家反对。庄子说他们:“饰人之心,易人之意,能胜人之口,不能服人之心,辩者之囿也。”《荀子》也认为:“虽辩,君子不听。”这的确是名家的吊诡。 中国古有名辩逻辑,唐代传入印度因明,近代又引进了西方逻辑,成为世界三大逻辑的汇合点。黑格尔在《小逻辑》里说:“一说到诡辩我们总以为这只是一种歪曲正义和真理,从一种谬妄的观点去表述事物的思想方式。但这并不是诡辩的直接的倾向。诡辩派原来的观点不是别的,只是一种‘合理化论辩’的观点。”这是针对古希腊人说的,对中国的名家来讲,同样适合。
参考资料来自http://tieba.baidu.com/p/1035637075
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理发师悖论 理发师悖论(罗素悖论):某村只有一人理发,且该村的人都需要理发,理发师规定,给且只给村中不自己理发的人理发。试问:理发师给不给自己理发? 如果理发师给自己理发,则违背了自己的约定;如果理发师不给自己理发,那么按照他的规定,又应该给自己理发。这样,理发师陷入了两难的境地。 说谎者悖论 说谎者悖论:公元前6世纪,古希腊克里特岛的哲学家伊壁门尼德斯有如此断言:“所有克里特人所说的每一句话都是谎话。” 如果这句话是真的,那么也就是说,克里特人伊壁门尼德斯说了一句真话,但是却与他的真话——所有克里特人所说的每一句话都是谎话——相悖;如果这句话不是真的,也就是说克里特人伊壁门尼德斯说了一句谎话,则真话应是:所有克里特人所说的每一句话都是真话,两者又相悖。 所以怎样也难以自圆其说,这就是著名的说谎者悖论。 公元前4世纪,希腊哲学家又提出了一个悖论:“我现在正在说的这句话是假的。”同上,这又是难以自圆其说! 说谎者悖论至今仍困扰着数学家和逻辑学家。说谎者悖论有许多形式。如:我预言:“你下面要讲的话是‘不’,对不对?用‘是’或‘不是’来回答。” 又如,“我的下一句话是错(对)的,我的上一句话是对(错)的”。 跟无限相关的悖论 跟无限相关的悖论: {1,2,3,4,5,…}是自然数集: {1,4,9,16,25,…}是自然数平方的数集。 这两个数集能够很容易构成一一对应,那么,在每个集合中有一样多的元素吗? 伽利略悖论:我们都知道整体大于部分。由线段BC上的点往顶点A连线,每一条线都会与线段DE(D点在AB上,E点在AC上)相交,因此可得DE与BC一样长,与图矛盾。为什么? 预料不到的考试的悖论 预料不到的考试的悖论:一位老师宣布说,在下一星期的五天内(星期一到星期五)的某一天将进行一场考试,但他又告诉班上的同学:“你们无法知道是哪一天,只有到了考试那天的早上八点钟才通知你们下午一点钟考。” 你能说出为什么这场考试无法进行吗? 电梯悖论 电梯悖论:在一幢摩天大楼里,有一架电梯是由电脑控制运行的,它每层楼都停,且停留的时间都相同。然而,办公室靠近顶层的王先生说:“每当我要下楼的时候,都要等很久。停下的电梯总是要上楼,很少有下楼的。真奇怪!”李小姐对电梯也很不满意,她在接近底层的办公室上班,每天中午都要到顶楼的餐厅吃饭。她说:“不论我什么时候要上楼,停下来的电梯总是要下楼,很少有上楼的。真让人烦死了!” 这究竟是怎么回事?电梯明明在每层停留的时间都相同,可为什么会让接近顶楼和底层的人等得不耐烦? 硬币悖论 硬币悖论:两枚硬币平放在一起,顶上的硬币绕下方的硬币转动半圈,结果硬币中图案的位置与开始时一样;然而,按常理,绕过圆周半圈的硬币的图案应是朝下的才对!你能解释为什么吗? 谷堆悖论 谷堆悖论:显然,1粒谷子不是堆; 如果1粒谷子不是堆,那么2粒谷子也不是堆; 如果2粒谷子不是堆,那么3粒谷子也不是堆; …… 如果99999粒谷子不是堆,那么100000粒谷子也不是堆; …… 如果1粒谷子落地不能形成谷堆,2粒谷子落地不能形成谷堆,3粒谷子落地也不能形成谷堆,依此类推,无论多少粒谷子落地都不能形成谷堆。这就是令整个古希腊震惊一时的谷堆悖论。 从真实的前提出发,用可以接受的推理,但结论则是明显错误的。它说明定义“堆”缺少明确的边界。它不同于三段论式的多前提推理,在一个前提的连续积累中形成悖论。从没有堆到有堆中间没有一个明确的界限,解决它的办法就是引进一个模糊的“类”。 这是连锁(Sorites)悖论中的一个例子,归功于古希腊人Eubulides,后来的怀疑论者不承认它是知识。“Soros”在希腊语里就是“堆”的意思。最初是一个游戏:你可以把1粒谷子说成是堆吗?不能;你可以把2粒谷子说成是堆吗?不能;你可以把3粒谷子说成是堆吗?不能。但是你迟早会承认一个谷堆的存在,你从哪里区分他们? 宝塔悖论 宝塔悖论:如果从一砖塔中抽取一块砖,它不会塌;抽两块砖,它也不会塌;……抽第N块砖时,塔塌了。现在换一个地方开始抽砖,同第一次不一样的是,抽第M块砖是,塔塌了。再换一个地方,塔塌时少了L块砖。以此类推,每换一个地方,塔塌时少的砖块数都不尽相同。那么到底抽多少块砖塔才会塌呢? 鸡与蛋问题 世界上是先有鸡还是先有蛋? ○当然是先有鸡,只是刚开始它不是鸡,而是别的动物,后来它们的繁衍方式发生了变化,——成为了卵生,所以才有了蛋。 ○最早没有卵生动物,很多生物还是无性繁殖分裂的,后来慢慢进化成卵生和哺乳动物,所以按道理应该先进化成生物本体才可能有蛋的由来。
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