Question

函数f(x)=x+a倍根号下1-x(a属于R) (1)若a=1,求f(x)的值域 (2)若不等式f（x）≤2对x属于〔-8，-3〕恒成立

求实数a的取值范围

Answer 1

（1）a=1时，f(x)＝x+√(1-x)，
设t=√(1-x)，则f(t)=1-t^2+t=-(t-1/2)^2+5/4

因为t>=0,所以当t=1/2时，f(t)有最大值5/4，无最小值，
故f(x)的值域是(-无穷大，5/4］。
(2）f(t)=-t^2+at+1,因为-8≤x≤-3，所以2≤t≤3，
要使f(t)≤2在[2,3]上恒成立，只要使f(t)的最大值≤2即可。
当a/2<2，即a<4时，f(t)的最大值=f(2)=-4+2a+1≤2
所以a≤5/2；
当2≤a/2≤3，即4≤a≤6时，f(t)的最大值＝f(a/2)=~a^2/4+a^2/2+1≤2
所以a^2≤4,与4≤a≤6矛盾;
当a/2>3，即a>6时，f(t)的最大值=f(3)＝-9+3a+1≤2
所以a≤10/3与a>6矛盾，
故a的取值范围是(-无穷大，5/2]。