Question

高一数列，要过程，有好评

Answer 1

n=2时，S2=a1+a2=a2+3=(1/2)(2+1)(a2+1)-1
解得a2=5
n≥2时，
an=Sn-S(n-1)=(1/2)(n+1)(an +1)-1-[(1/2)n[a(n-1)+1] -1]
(n-1)an-na(n-1)=-1
等式两边同除以n(n-1)
an/n -a(n-1)/(n-1)=-1/[n(n-1)]=1/n-1/(n-1)
(an -1)/n=[a(n-1)-1]/(n-1)
(a2-1)/2=(5-1)/2=2，数列{(an +1)/n}从第2项开始，是各项均为2的常数数列。
(an -1)/n=2
an=2n+1
n=1时，a1=2×1+1=3，同样满足通项公式
数列{an}的通项公式为an=2n+1
a(n+1)-an=2(n+1)+1-(2n+1)=2，为定值，数列{an}是以3为首项，2为公差的等差数列
1/[an·a(n+1)]=1/[(2n+1)(2n+3)]=(1/2)[1/(2n+1)-1/(2n+3)]=(1/2)[1/(2n+1)-1/(2(n+1)+1)]
Tn=1/(a1·a2)+1/(a2·a3)+...+1/[an·a(n+1)]
=(1/2)[1/(2×1+1)-1/(2×2+1)+1/(2×2+1)-1/(2×3+1)+...+1/(2n+1)-1/(2n+3)]
=(1/2)[1/3-1/(2n+3)]
=1/6 -1/(4n+6)
1/(4n+6)>0 1/6-1/(4n+6)<1/6
当n->+∞时，1/(4n+6)->0 1/6-1/(4n+6)->1/6
要Tn≤M对于一切正整数n恒成立，M≥1/6
M的最小值为1/6

Answer 2

an=Sn-S(n-1)这个在数列中经常用到