Question

1、已知抛物线y=x^2+mx-1/4m^2(m>0)与x轴交于A、B两点。

（1）求证：抛物线的对称轴在y轴的左侧
（2）设抛物线与y轴交于点C，若∠ACB=90°，求m的值
2、已知抛物线y=x^2-4x+3与x轴交于两点A、B（A在B左侧），与y轴交于点C
（1）对于任意实数m，点M（m，-3）是否在该抛物线上？请说明理由
（2）求∠ABC的度数
（3）若点P在抛物线上，且使得△PBC是以BC为直角边的直角三角形，试求出点P的坐标。

Answer 1

1、（1）x1+x2 = - m，∴对称轴 x = -m/2 < 0 所以对称轴在y轴左侧。
（2）∵∠ACB = 90° ∴x1*x2 < 0 即 x1*x2 = -1/4m² < 0
而x1,2 = (-m±m√2)/2 即：x1 = m(-1+√2)/2 ； x2 = - m（1+√2）/2 ；
∴ C（0，-1/4m²）；A（- m（1+√2）/2，0）；B（m(-1+√2)/2，0）
Kac = [1/4m²] / [- m（1+√2）] = -m /[4（1+√2）]
Kbc = [1/4m²] / [m(-1+√2)/2] = -m /[4（1-√2）]
∵∠ACB = 90°∴Kac * Kbc = -1
即：m² = 16 ∴ m = 4 或 m=-4（舍去）
2、（1）对于任意实数m，点M（m，-3）不在该抛物线上，理由如下：
∵抛物线y=x^2-4x+3的最小值 = -1，而M点在直线y = -3，∴抛物线y=x^2-4x+3与直线y=-3没有交点。
∴对于任意实数m，点M（m，-3）不在该抛物线上。
（2）A（1,0）；B（3,0）；C（0,3） ∴∠ABC = 45°
（3）Kbc = -1 ∴Kpb = 1 ∴PB方程：y=x-3 带入抛物线方程得：x²-5x+6 = 0 ∴x1=2；x2=3
∴P点坐标为：（2，-1）即抛物线的顶点