Question

如图，在四面体A-BCD中，AD垂直平面BCD，BC垂直CD,AD=2,BD=2根号2，M是AD的

如图，在四面体A-BCD中，AD垂直平面BCD，BC垂直CD,AD=2,BD=2根号2，M是AD的中点，P是BM的中点，点Q在 线段AC上，且AQ=3QC,
求证：PQ垂直AD.

Answer 1

如图，只需证明 PQ∥平面BCD；

∵AD⊥平面BCD，∴AD⊥BD、AD⊥CD；

∵ P 是 MB 的中点，∴ P 到 BD（平面BCD） 的距离是  MD 的 1/2、是 AD 的 1/4（M 是 AD 的中点）；

在Rt△ACD 中，利用三角形相似可得 Q 到 CD（平面BCD） 的距离是 A 到 CD 的距离的 1/4；

故 P、Q 到平面BCD 的距离相等，PQ∥平面BCD；∴PQ⊥AD；

Answer 2

【命题意图】本题考查空间点、线、面位置关系，二面角等基础知识，空间向量的应用，同时考查空间想象能力和运算求解能力。
【答案解析】
（Ⅰ）取BD的中点O，在线段CD上取点F，使得DF=3FC，连接OP，OF，FQ．
因为AQ=3QC，所以
QF∥AD，且QF=AD
因为O，P分别为BD，BM的中点，所以OP是△BDM的中位线，所以
OP∥DM，且OP=DM
又点M是AD的中点，所以
OP∥AD，且OP=AD
从而
OP∥FQ，且OP=FQ
所以四边形OPQF是平行四边形，故
PQ∥OF
又PQË平面BCD，OFÌ平面BCD，所以
PQ∥平面BCD．
（Ⅱ）作CG^BD于点G，作GH^BM于点HG，连接CH，则CH^BM，所以ÐCHG为二面角的平面角。设ÐBDC=θ．
在Rt△BCD中，
CD=BDcos θ=2cos θ，
CG=CDsin θ=2cos θsin θ，
BG=BCsin θ=2sin2θ
在Rt△BDM中，
HG==
在Rt△CHG中，
tanÐCHG=
所以
tan q=
从而
q=60°
即ÐBDC=60°．

补充，这是网上搜来的。