Question

微积分（中值定理）

设不恒为常数的函数f（x）在[a，b]上连续，（a，b）内可导，且f（a）＝f（b），证明（a，b）内至少有一点ξ，使得f'（ξ）＞0。 求解啊！！！！

Answer 1

①
因为f(x)不恒为常数故至少存在g属于(a,b)使f(g)≠f(a)=f(b)

若f(c)>f(a)则在【a,c】∈(a,b)存在一点ξ，使得f'(ξ)=[f(ξ)-f(a)]/（ξ-a）>0
若f(ξ)<f(b)则在【c,b】∈(a,b)存在一点d，使得f'(ξ)=[f(b)-f(ξ)]/（b-ξ）>0
因此，至少存在一点ξ使得f'(ξ)>0。
②
∵f（a）＝f（b）

∴在（a，b）上至少存在ξ1使得f'(ξ1)=0

∵不恒为常数的函数f（x）在[a，b]上连续

∴在ξ1的领域内存在一点ξ使得f'(ξ)>0（极限保号性）
看我打这么多可以给我加点分吧！

Answer 2

好题！

Answer 3

纠正一楼的问题:
f是可导函数，f(0)=0
和
f(1)=1
则存在x
使得f'(x)=(1-0)/(1-0)=1,
当x属于(0，1).
那儿来的的
f(x)'=2x?
f是可导函数,必然连续，f(0)=0
和
f(1)=1，根据介值定理，存在X属于(0，1)，使F(X)=X.
由Lagrange中值定理，存在ξ满足(0，1)时，使f'(ξ)=(1-0)/(1-0)=1，此处
ξ是一个特值，而不是函数，所以当ξ满足(0，1/2)时，2ξ满足(0，1)
再结合介值定理，就可能使f'(ξ)=2ξ.
证明如下:
设F(x)=f(x)-x^2,g(x)在(0,1)满足ROLLE中值定理，因此存在x属于(0,1)使g'(x)=0即f'(x)=2x