已知函数f(x)=x²+ax+3
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f(x)≥a恒成立等价于f(x)-a≥0恒成立,即x²+ax+3-a≥0恒成立。
另g(x)=x²+ax+3-a,问题转化为g(x)在x属于[-2,2]时g(x)≥0恒成立。
g(x)=x²+ax+3-a=(x+a/2)²+3-a-a²/4。
分三种情况讨论:
一、当二次函数的对称轴x=-a/2小于等于-2,即当a≥4时,函数开口向上,只需要g(-2)≥0,解得a≤7/3。a的取值为空集。
二、当二次函数的对称轴x=-a/2大于等于2,即当a≤-4时,函数开口向上,只需要g(2)≥0,解得a≤-7。a的取值为a≤-7。
三、当二次函数的对称轴x=-a/2处于[-2,2]之间时,即当-4≤a≤4时,函数开口向上,主需要g(-a/2)≥0,解得-6≤a≤2。a的取值为-4≤a≤2。
综上所述,a的取值范围是(-∞,-7]U[-4,2]
另g(x)=x²+ax+3-a,问题转化为g(x)在x属于[-2,2]时g(x)≥0恒成立。
g(x)=x²+ax+3-a=(x+a/2)²+3-a-a²/4。
分三种情况讨论:
一、当二次函数的对称轴x=-a/2小于等于-2,即当a≥4时,函数开口向上,只需要g(-2)≥0,解得a≤7/3。a的取值为空集。
二、当二次函数的对称轴x=-a/2大于等于2,即当a≤-4时,函数开口向上,只需要g(2)≥0,解得a≤-7。a的取值为a≤-7。
三、当二次函数的对称轴x=-a/2处于[-2,2]之间时,即当-4≤a≤4时,函数开口向上,主需要g(-a/2)≥0,解得-6≤a≤2。a的取值为-4≤a≤2。
综上所述,a的取值范围是(-∞,-7]U[-4,2]
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