Question

求数列通项公式的各种求法

已知递推的，已知求和的，等等，最好有例题，答得好有加分

Answer 1

以数列的递推式求数列的通项公式
1、形如an+1=pan+q的递推式：
当p=1时数列为等差数列；
当q=0,p≠0时数列为等比数列；
当p≠1,p≠0,q≠0时，令an+1－t=p(an－t),整理得an+1=pan+(1－p)t,由an+1=pan+q，有(1－p)t=q∴t=q/(1－p),从而an+1－q/(1－p)=p〔an－q/(1－p)〕,
∴数列﹛an－q/(1－p)﹜是首项为a1－q/(1－p)，公比为q的等比数列。
故an=〔a1－q/(1－p)〕pn－1+ q/(1－p)
2、形如an+1= pan +f(n)的递推式：将上式两边同除以pn+1,得an+1/ pn+1=an/ pn+f(n)/ pn+1,令 bn= an/ pn,则bn+1=bn+ f(n)/ pn+1，由此可求出bn，从而求出an
3、形如an+1=pan+qa n－1（n≥2）的递推式：
1°若p+q=1时，p=1－q,则an+1=(1－q)an+qa n－1,即an+1－an=(an－a n－1)(-q)，知﹛an－a n－1﹜为等比数列，公比为-q，首项为a2－a 1 ，从而an+1－an=(a2－a 1)(-q) n－1，用叠加法就可求出an2°若p+q≠1时，存在x1、x2满足an+1－x1an= x2 (an－x1a n－1)，整理得an+1=（x1+x2）an+ x1 x2a n－1 ，有x1+x2=p，-x1x2=q，把x1、x2看做一元二次方程x2－px－q=0的两个根，容易求出x1、x2 ，从而数列﹛an+1－x1an﹜是等比数列，可得an+1－x1an= x2 n－1 (a2－x1a 1)①或an+1－x2an= x1 n－1(an－x1a n－1)②，当x1≠x2 时，由①②联立可解得an ；当x1=x2时，转化成以上类型的递推式，可求出an

Answer 2

通项公式,大致可分为三个类型,1)最基本的,就是直接可以看出项和项数之间的函数关系的,2)不能直接看出的,这就需要你把平时做的题总结出来,这些也不多,大概五,六个类型吧,3)就是由求和公式推出通项公式的或结合别的通项公式求另一个数列的通项公式的,也要多做题,做好总结 虽然我对题海战术深恶痛绝,但这是中国的国情