三角形ABC中,A,B,C是其三内角,且满足sinA=根号2×cosB,sinAsinB=根号3×
三角形ABC中,A,B,C是其三内角,且满足sinA=根号2×cosB,sinAsinB=根号3×cosAcosB,求A,B,C的值;...
三角形ABC中,A,B,C是其三内角,且满足sinA=根号2×cosB,sinAsinB=根号3×cosAcosB,求A,B,C的值;
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解:已知△ABC中,A,B,C是其三内角,sinA=√2cosB,
由于sinA>0,所以cosB>0
又sinAsinB=√3cosAcosB,且sinB>0
则有cosA>0,即∠A是锐角
因为sin²A+cos²A=1且由上知sin²A=2cos²B
所以2cos²B+cos²A=1
即cos²A=1-2cos²B
解得cosA=√(1-2cos²B)
所以由sinAsinB=√3cosAcosB可得:
√2*cosB *√(1-cos²B)=√3*√(1-2cos²B) *cosB
即√2*√(1-cos²B)=√3*√(1-2cos²B)
两边平方得:
2(1-cos²B)=3(1-2cos²B)
化简整理得:4cos²B=1
即cos²B=1/4
cosB=1/2
解得∠B=60°
则sinA=√2cosB=√2/2
因为∠A是锐角,所以解得∠A=45°
则∠C=180°-∠A-∠B=75°
所以:∠A=45°,∠B=60°,∠C=75°
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你的好评是我前进的动力。
(*^__^*) 嘻嘻……
我在沙漠中喝着可口可乐,唱着卡拉ok,骑着狮子赶着蚂蚁,手中拿着键盘为你答题!!!
由于sinA>0,所以cosB>0
又sinAsinB=√3cosAcosB,且sinB>0
则有cosA>0,即∠A是锐角
因为sin²A+cos²A=1且由上知sin²A=2cos²B
所以2cos²B+cos²A=1
即cos²A=1-2cos²B
解得cosA=√(1-2cos²B)
所以由sinAsinB=√3cosAcosB可得:
√2*cosB *√(1-cos²B)=√3*√(1-2cos²B) *cosB
即√2*√(1-cos²B)=√3*√(1-2cos²B)
两边平方得:
2(1-cos²B)=3(1-2cos²B)
化简整理得:4cos²B=1
即cos²B=1/4
cosB=1/2
解得∠B=60°
则sinA=√2cosB=√2/2
因为∠A是锐角,所以解得∠A=45°
则∠C=180°-∠A-∠B=75°
所以:∠A=45°,∠B=60°,∠C=75°
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你的好评是我前进的动力。
(*^__^*) 嘻嘻……
我在沙漠中喝着可口可乐,唱着卡拉ok,骑着狮子赶着蚂蚁,手中拿着键盘为你答题!!!
2014-04-05
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由sinA=根号2cosB,得cosA=根号(1-sinA的平方)=根号(1-2cosB的平方),带入题中二式,化简得,
根号2sinB=根号3*根号(1-2cosB的平方),两边同时平方,再移项,得2sinB的平方+18cosB的平方=9,
又由sinB的平方+cosB的平方=1,A,B,C为三角形内角,所以cosB=根号2/2,所以B=45°,
代入题中一式,得A=90°,所以C=45°
根号2sinB=根号3*根号(1-2cosB的平方),两边同时平方,再移项,得2sinB的平方+18cosB的平方=9,
又由sinB的平方+cosB的平方=1,A,B,C为三角形内角,所以cosB=根号2/2,所以B=45°,
代入题中一式,得A=90°,所以C=45°
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