Question

三角形ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知a=bcosC+csinB. （1）求B.

三角形ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知a=bcosC+csinB.
（1）求B.（2）若b=2，求三角形面积的最大值

Answer 1

解答：
（1）
利用正弦定理:a/sinA=b/sinB=c/sinC
∵ a=bcosC+csinB
∴ sinA=sinBcosC+sinCsinB
∵ sinA=sin[π-(B+C)]=sin(B+C)
∴ sinBcosC+cosCsinB=sinBcosC+sinCsinB
∴ cosCsinB=sinCsinB
∴ tanB=1
∴ B=π/4
（2）
S=(1/2)acsinB=(√2/4)ac
利用余弦定理
4=a²+c²-2ac*cos(π/4)
∴ 4=a²+c²-√2ac≥2ac-√2ac
∴ ac≤4/(2+√2)=2(2+√2)
当且仅当a=c时等号成立
∴ S的最大值是(√2/4)*2*(2+√2)=√2+1

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追问

求解第一问，为什么cosCsinB=sinCsinB可以得出tanB=1

追答

不好意思，公式书写有误，现更正如下：
利用正弦定理:a/sinA=b/sinB=c/sinC
∵ a=bcosC+csinB
∴ sinA=sinBcosC+sinCsinB
∵ sinA=sin[π-(B+C)]=sin(B+C)
∴ sinBcosC+cosBsinC=sinBcosC+sinCsinB
∴ cosBsinC=sinCsinB
∴ tanB=1
∴ B=π/4

Answer 2

1、利用余弦定理
S=(1/2)acsinB=(√2/4)ac
4=a²+c²-2ac*cos(π/4)
∴ 4=a²+c²-√2ac≥2ac-√2ac
∴ ac≤4/(2+√2)=2(2+√2)
当且仅当a=c时等号成立
∴ S的最大值是(√2/4)*2*(2+√2)=√2+1
2、
利用正弦定理:a/sinA=b/sinB=c/sinC
∵ a=bcosC+csinB
∴ sinA=sinBcosC+sinCsinB
∵ sinA=sin[π-(B+C)]=sin(B+C)
∴ sinBcosC+cosCsinB=sinBcosC+sinCsinB
∴ cosCsinB=sinCsinB
∴ tanB=1
∴ B=π/4

cosCsinB=sinCsinB可以得出tanB=1这个很简单啊！利用正余弦和正切相互转换啊。