Question

三角形ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知a=bcosC+csinB. （1）求B.

三角形ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知a=bcosC+csinB.
（1）求B.（2）若b=2，求三角形面积的最大值

Answer 1

解伏做答：
（1）
利用正弦定理:a/sinA=b/sinB=c/sinC
∵ a=bcosC+csinB
∴ sinA=sinBcosC+sinCsinB
∵ sinA=sin[π-(B+C)]=sin(B+C)
∴ sinBcosC+cosCsinB=sinBcosC+sinCsinB
∴ cosCsinB=sinCsinB
∴ tanB=1
∴ B=π/4
（2）
S=(1/2)acsinB=(√2/4)ac
利用余弦定理
4=a²+c²-2ac*cos(π/4)
∴ 4=a²+c²-√2ac≥2ac-√2ac
∴ ac≤4/(2+√2)=2(2+√2)
当且仅当a=c时等号成立
∴ S的最大值是(√2/4)*2*(2+√2)=√2+1

如果你认可我的回答，请及时点击采纳为首让【满意回答】按钮
手机提问者在客户端右上角评价点“满意”即可。
你的采纳是我前进的动力! 如还有新的问题，请另缺芹衡外向我求助，答题不易，谢谢支持……

追问

求解第一问，为什么cosCsinB=sinCsinB可以得出tanB=1

追答

不好意思，公式书写有误，现更正如下：
利用正弦定理:a/sinA=b/sinB=c/sinC
∵ a=bcosC+csinB
∴ sinA=sinBcosC+sinCsinB
∵ sinA=sin[π-(B+C)]=sin(B+C)
∴ sinBcosC+cosBsinC=sinBcosC+sinCsinB
∴ cosBsinC=sinCsinB
∴ tanB=1
∴ B=π/4

Answer 2

1、利用余弦定理
S=(1/2)acsinB=(√2/4)ac
4=a²+c²-2ac*cos(π/凳毕4)
∴ 4=a²+c²-√2ac≥2ac-√2ac
∴ ac≤4/(2+√2)=2(2+√2)
当且仅当州局a=c时等号成立
∴ S的最大值是(√2/4)*2*(2+√2)=√2+1
2、
利用正弦定理:a/sinA=b/sinB=c/sinC
∵ a=bcosC+csinB
∴ sinA=sinBcosC+sinCsinB
∵ sinA=sin[π-(B+C)]=sin(B+C)
∴ sinBcosC+cosCsinB=sinBcosC+sinCsinB
∴ cosCsinB=sinCsinB
∴ tanB=1
∴ B=π/4

cosCsinB=sinCsinB可以得出tanB=1这个很简单枣迹芹啊！利用正余弦和正切相互转换啊。