Question

已知F1、F2是椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点，角F1PF2=60°

已知F1、F2是椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点，角F1PF2=60°
（1）求椭圆离心率的范围 （2）求证三角形F1PF2的面积只与椭圆的短轴长有关

Answer 1

(1)余弦定理，cos∠F1PF2=(|F1P|�0�5+|F2P|�0�5-|F1F2|�0�5)/(2|F1P||F2P|),注意|F1P|+|F2P|=2a,|F1F2|=2c,那么cos∠F1PF2=(4a�0�5-2|F1P||F2P|-4c�0�5)/(2|F1P||F2P|)=2(a�0�5-c�0�5)/(|F1P||F2P|)-1,又2|F1P||F2P|≤(|F1P|+|F2P|)�0�5/2=2a�0�5,那么cos∠F1PF2=2(a�0�5-c�0�5)/(|F1P||F2P|)-1≧2(a�0�5-c�0�5)/a�0�5-1=1-2e�0�5,即1-2e�0�5≦1/2~1/2≤e<1~(2)S=(|F1P||F2P|sin∠F1PF2)/2,那么|F1P||F2P|=2S/sin∠F1PF2,带入(1)中cos∠F1PF2=2(a�0�5-c�0�5)/(|F1P||F2P|)-1=2b�0�5/(|F1P||F2P|)-1中，即得到只有S和b的关系式~