Question

函数f(x)=ax³+bx²+cx在区间[0,1]上是增函数,在区间(-∞,0),(1,+∞)上是减函数，f′（1/2）=3/2.

（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）与偶在区间[0，m]（m＞0）上恒有f（x)≤x成立，求m的取值范围.

Answer 1

答：

f(x)=ax³+bx²+cx在[0,1]上是增函数，
在(-∞,0),(1,+∞)上是减函数
则x=0和x=1是导函数f'(x)的零点：
f'(x)=3ax²+2bx+c
根据韦达定理有：
x1+x2=-2b/(3a)=1
x1*x2=c/(3a)=0
所以：c=0，b=-3a/2
f'(x)=3ax²-3ax
f'(1/2)=3a/4-3a/2=3/2
解得：a=-2，b=3，c=0
所以：f(x)=-2x³+3x²

2）
0<=x<=m上恒有f(x)=-2x³+3x²<=x成立
x=0成立，x>0：-2x²+3x<=1
2x²-3x+1>=0
(2x-1)(x-1)>=0
x>=1或者x<=1/2
所以：0<=x<=m<=1/2
所以：0<m<=1/2