Question

数学求导运算

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Answer 1

这里有一些不知道你需要不需要： 重点难点分析：
　　1．函数f(x)在区间(a,b)内是单调递增或递减的判定可依据单调性定义也可利用导数，应根据问题的具体条件适当选用方法，有时须将区间(a,b)划分成若干小区间，在每个小区间上分别判定单调性。
　　2．函数极值只反映函数在某点附近值的大小情况。在某区间上函数的极值可能有若干个，而且极小值未必小于极大值。f'(x0)=0仅是函数f(x)在点x0处有极值的必要条件，点x0是f(x)的极值点，当且仅当在x0的左右f'(x)
的符号产生变化。
　　3．函数的最值表示函数在定义域内值的整体情况。连续函数f(x)在闭区间[a,b]上必有一个最大值和一个最小值，但是最值点可以不唯一。
　　4．在实际问题中，要由实际问题的背景构造出相应的函数关系式y=f(x),并注明其定义域，当f'(x)=0在定义域内只有一个解时，并且最值一定存在，则此点即为函数f(x)的最值点。

　　典型例题
　　例1．设f(x)=ax3+x恰有三个单调区间，试确定a的取值范围，并求其单调区间。

　　解析：f'(x)=3ax2+1，若a≥0, f'(x)>0，对x∈R恒成立，此时f(x)只有一个单调区间，矛盾。
　　若a<0，∵ f'(x)=,此时f(x)恰有三个单调区间。
　　∴ a<0且单调减区间为，单调增区间为。

　　例2．求函数y=2ex+e-x的极值。
　　解析：y'=2ex-e-x，令y'=0, 即2e2x=1,
　　列表： x y'- 0 + y ↘ 极小值↗
　　∴ y极小。

　　例3．求函数f(x)=3x-x3在闭区间的最大值和最小值。

　　解析：f'(x)=3-3x2, 令f'(x)=0，则x1=-1，x2=1。
　　则f(-1)=-2, f(1)=2，又,
　　∴ [f(x)]max=2, [f(x)]min=-18。

　　例4．如右图所示，在二次函数f(x)=4x-x2的图象与x轴所围成图形中有个内接矩形ABCD，求这个矩形面积的最大值。

　　解析：设点B的坐标为(x,0)且0<x<2,
　　∵ f(x)=4x-x2图象的对称轴为x=2, ∴点C的坐标为(4-x,0),
　　∴ |BC|=4-2x, |BA|=f(x)=4x-x2。
　　∴ 矩形面积为y=(4-2x)(4x-x2)=16x-12x2+2x3
　　　　　　　　 y'=16-24x+6x2=2(3x2-12x+8)
　　令y'=0，解得，∵ 0<x<2, ∴ 取。
　　∵ 极值点只有一个，当时，矩形面积的最大值。

　　例5．一艘渔艇停泊在距岸9km处，今需派人送信给距渔艇km处的海岸渔站，如果送信人步行每小时5km，船速每小时4km，问应在何处登岸再步行可以使抵达渔站的时间最省？

　　解析：如图示设A点为渔艇处，BC为海岸线，C为渔站，且AB=9km,
　　设D为海岸线上一点，CD=x，只需将时间T表示为x的函数，
　　∵ ，
　　由A到C的时间T，则（0≤x≤15）
　　（0≤x≤15）
　　令T'=0，解得x=3，在x=3附近，T'由负到正，
　　因此在x=3处取得最小值，又，比较可知T(3)最小。
　　训练题：
　　1．函数y=4x2(x-2), x∈[-2，2]的最小值是_____。

　　2．一个外直径为10cm的球，球壳厚度为，则球壳体积的近似值为____。

　　3．函数f(x)=x4-5x2+4的极大值是______，极小值是_____。

　　4．做一个容积为256升的方底无盖水箱，问高为多少时最省材料？

　　参考答案：
　　1. –64　　2. 19.63cm3　　3. 4；
　　4. 设高为h，底边长为a，则所用材料为S=a2+4ah,而a2h=256，a∈(0,+∞),
　　∴ , a∈(0,+∞),
　　令S'(a)=, ∴ a=8。
　　显然当0<a<8时，S'(a)<0，当a>8时，S'(a)>0，因此当a=8时，S最小，此时h=4。

Answer 2

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