高中数学函数问题!!!!!急!【求详解】 5

已知函数f(x)=x2-(a+2)x+alnx+2a+2,其中a≤2.(Ⅰ)求函数f(x)的单调区间;(Ⅱ)若函数f(x)在(0,2]上有且只有一个零点,求实数a的取值范... 已知函数f(x)=x2-(a+2)x+alnx+2a+2,其中a≤2.
(Ⅰ)求函数f(x)的单调区间;
(Ⅱ)若函数f(x)在(0,2]上有且只有一个零点,求实数a的取值范围.
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adrxy
2013-12-11 · TA获得超过2595个赞
知道小有建树答主
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(Ⅰ)函数f(x)=x²-(a+2)x+alnx+2a+2的定义域为x∈(0,+∞)
f'(x)=2x-(a+2)+a/x
=[2x²-(a+2)x+a]/x
=(2x-a)(x-1)/x
令 f'(x)=0得x=a/2或1,于是
若a≤0则
当x∈(0,1)时,f'(x)<0,f(x)在x∈(0,1)上单调递减;
当x∈(1,+∞)时,f'(x)>0,f(x)在x∈(1,+∞)上单调递增;
若0<a<2则
当x∈(0,a/2)时,f'(x)>0,f(x)在x∈(0,a/2)上单调递增;
当x∈(a/2,1)时,f'(x)<0,f(x)在x∈(a/2,1)上单调递减;
当x∈(1,+∞)时,f'(x)>0,f(x)在x∈(1,+∞)上单调递增;
若a=2则
对任意x∈(0,+∞), f'(x)=(2x-a)(x-1)/x=2(x-1)²/x≥0,f(x)在x∈(0,+∞)上单调递增。
(Ⅱ)下讨论函数f(x)在x∈(0,2]上有且只有一个零点的情况
若a<-2/(ln2)则
当x∈(0,1)时,f(x)在x∈(0,1)上单调递减,在x∈(1,2]上单调递增
f(1)=1²-(a+2)1+aln1+2a+2=1+a<0
f(2)=2²-2(a+2)+aln2+2a+2=2+aln2<0
当x→0时,f(x)→+∞,f(x)>0
从而f(x)在x∈(0,2]有且只有一个零点;
若-2/(ln2)≤a<-1则
当x∈(0,1)时,f(x)在x∈(0,1)上单调递减,在x∈(1,2]上单调递增
f(1)=1²-(a+2)1+aln1+2a+2=1+a<0
f(2)=2²-2(a+2)+aln2+2a+2=2+aln2≥0
当x→0时,f(x)→+∞,f(x)>0
从而f(x)在x∈(0,2]上有两个零点;
若a=-1则
当x∈(0,1)时,f(x)在x∈(0,1)上单调递减,在x∈(1,2]上单调递增
f(1)=1²-(a+2)1+aln1+2a+2=1+a=0
f(x)在x∈(0,2]上有且只有一个零点;
若-1<a≤0则
当x∈(0,1)时,f(x)在x∈(0,1)上单调递减,在x∈(1,2]上单调递增
f(1)=1²-(a+2)1+aln1+2a+2=1+a>0
从而f(x)在x∈(0,2]上无零点;
若0<a<2则
f(x)在x∈(0,a/2)上单调递增,在x∈(a/2,1)上单调递减,在x∈(1,2]上单调递增;
f(1)=1+a>0
f(a/2)> f(1)>0
当x→0时,显然f(x)=x²-(a+2)x+alnx+2a+2→-∞,f(x)<0
f(x)在x∈(0,2]上有且只有一个零点
若a=2则
∀x∈(0,2], f'(x)=(2x-a)(x-1)/x=2(x-1)²/x≥0,f(x)=x²-4x+2lnx+6在x∈(0,2]上单调递增,当x→0时,显然f(x)=x²-4x+2lnx+6→-∞,f(x)<0,又f(2)=2ln2+6>0,从而f(x)在x∈(0,2]上有且只有一个零点。
综上,若函数f(x)在x∈(0,2]上有且只有一个零点,则a的取值范围为{a|a<-2/(ln2)或a=-1或0<a≤2}
个人的日子
2013-12-08 · 超过15用户采纳过TA的回答
知道答主
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这个问题肯定要使用导数求解。但这里太难书写。抱歉了
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jack3571
2013-12-08
知道答主
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先求导 求导值=0 求出各点 就是区间端点
第二题根据求导
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