Question

如图7-X-10,已知∠MON=90°,点A,B分别在射线OM,ON上移动,∠OAB的平分线与∠OBA

如图7-X-10,已知∠MON=90°，点A、B分别在射线OM、ON上移动，∠OAB的平分线与∠OBA处的外角平分线所在直线交于点C，试猜想：随着A、B点的移动，∠ACB的大小是否变化？说明理由.

Answer 1

不论A、B两点怎样移动，∠ACB都等于45°
∵ ∠MON=90° ∴ ∠OAB +　∠ABO ＝ 90°
又∵ AC是∠OAB的平分线， ∴ ∠CAB ＝ (1/2)∠OAB
由图 ∠OBD ＝ ∠MON + ∠OAB ＝90° +∠OAB
∴　 ∠OBC ＝(1/2)∠OBD = (1/2) (90° +∠OAB) =45° +(1/2)∠OAB
∴ ∠ABC = ∠OBC + ∠ABO = ∠OBC + 45° +(1/2)∠OAB
∴ ∠ACB = 180°- ∠CAB -∠ABC
= 180° - (1/2)∠OAB - ∠OBC - 45° - (1/2)∠OAB
= 135° - (∠AOB + ∠OBC)
= 135° - 90° = 45°

追问

∠ABC = ∠OBC + ∠ABO = ∠OBC + 45° +(1/2)∠OAB ,这一步是如何转换的？我想了两种方式，一种是∠OBC不变，可是∠ABO和 45° +(1/2)∠OAB=∠OBC，2∠OBC=∠ABC，貌似不靠谱。一种是∠OBC代表后面的 45° +(1/2)∠OAB，可∠ABO和∠OBC又对不上。能帮忙详细说一下怎么转换的吗
？

追答

哦！对不对，对于∠ABC = ∠OBC + ∠ABO = ∠OBC + 45° +(1/2)∠OAB这一步当时打字时打错了，应该是：
∠ABC = ∠ABO +∠OBC
＝∠ABO + 45° +(1/2)∠OAB
∴ ∠ACB＝180°- ∠CAB -∠ABC
＝180° - (1/2)∠OAB－∠ABO - 45° - (1/2)∠OAB
＝135°－（1/2)(∠OAB+∠OAB)－∠ABO
＝135°－∠OAB －∠ABO
＝ 135°－（∠OAB+∠ABO)
＝135°－90°＝45°
实在对不起，给你把符号打错了，让你多走了弯路，请原谅！