Question

设双曲线x2/a2-y2/b2=1的左右焦点分别为F1,F2,点P在双曲线的右支上,且pF1=4pF2，则此时双曲线的离心率

最大值为？？？

Answer 1

如图所示，P点在双曲线右支上活动，

P点距左准线的距离等于|PF1|/e，P点距右准线的距离等于|PF2|/e，

两者之比等于|PF1|/|PF2|

∴当P点位于双曲线右支与x轴交点时，|PF1|/|PF2|取得最大值：|PF1|/|PF2|=(c+a)/(c-a)=(e+1)/(e-1)，（分子分母同除以一个a）

也就是说，当(e+1)/(e-1)＜4时，也有|PF1|/|PF2|＜4

于是，由题中|PF1|=4|PF2|，有(e+1)/(e-1)≥4

对于双曲线有e＞1，所以e+1≥4e-4，e≤5/3

参考

http://zhidao.baidu.com/link?url=1Kgr9QMPIL30mS1encJJfUaVTHPRSrhUnJbq_8V-qU-UPCA3jNbv3Z3uBmHMANsKbfAIAsQZ-fTtdPaZlSGl5_