Question

若f(x)在x=0的某个邻域中有连续的一阶导数f’(0)=0,f”(0)存在，

证明

Answer 1

用拉格朗日中值定理
f(x)-f(sinx)=f'(t)(x-sinx),t∈(sinx,x)
原极限=f'(t)(x-sinx)/x^4
=f'(t)(x-x+x^3/6+o(x^4))/x^4
=f'(t)(x^3/6+o(x^4))/x^4

=1/6*f'(t)/x

=1/6*[f'(t)-f'(0)]/(t-0) *t/x

=1/6*f''(0)*t/x

由于sinx<t<x
所以sinx/x<t/x<1
由两边夹知道lim t/x=1
证毕