多元函数的全微分的几何意义是啥？？？麻烦给个详细分析，不胜感激！！！
多元函数的全微分（其实叫微分就够了）有两种意义。一种是传统的解释，一种则是在微分流形理论中所给的解释。相比较而言，后者完美，当然也比较抽象。
先说传统解释。以三元函数 f(x, y, z) 为例，其微分
的意义体现在估算函数增量上：当自变量从 (x, y, z) 变化到 (x + \Delta x, y + \Delta y, z + \Delta z) 以后，相应的函数增量的定义是
对这个增量进行近似计算的时候，如果只是准确到增量的一阶项，则有
至此，就出现了微分的传统意义：如果把自变量的微分解释为自变量的增量，则函数的微分给出的函数增量的近似值，准确到各个自变量的增量的一阶项。也就是说，它和精确的函数增量之差是各个自变量增量的高阶无穷小，如下所示：
所以，传统意义上的全微分可以用这样一句话来概括：全微分是函数增量的线性化。
这种解释虽然容易理解，但是也有说不清的地方。其一，微分和增量毕竟是两码事，一个是“无穷小”的东西，一个是有限的东西，后者无论怎样小也不能变成前者，因为“没有最小，只有更小。”其二，为什么在全微分表达式（即第一个式子）中左右两边精确地相等，到了第三个式子就成了近似了？这还是说明增量和微分有天壤之别，那么这种分别到底在哪里？没有讲清楚。
微分流形理论就把这件事情讲清楚了。
首先，它不认为微分（不管它是自变量的微分还是因变量的微分）是无穷小，因为“无穷小”本来就是说不清的东西，以说不清的东西来解释其他事情岂不是等于没有解释？
其次，函数 f 的微分必须要和空间点 p (x, y, z) 联系在一起，不同的点上的 df 是不可以等同看待的。所以，p 点的那个 df 应该记作
以区别于其他点上的 df.
在上述基础上，微分流形理论把 p 点的 df 看作一个映射。微分流形理论把这件事情讲得比较抽象，抽象到和坐标没有关系，讲清楚这些问题就差不多要给你开微分流形课程了，所以我还是借用坐标来说好了：如果 p 点有一个矢量 v，它沿着 x 轴、y 轴和 z 轴的分量分别是 X, Y, Z，则说
把这个矢量 v 映射为一个数
一句话：函数 f 在 p 点的微分是一个关于矢量 v 的函数。这个函数对矢量 v 是线性依赖的。特别是，微分 dx 在 p 点也是一个关于矢量 v 的线性函数，它把 v 直接映射为 v 的 x 分量 X; 其他如 dy, dz 等也是类似的。
为什么这样定义呢？首先，它完满地绕过了莫名其妙的无穷小概念；而所导致的公式和传统意义上的微分公式是一样的：
其次，这种定义的几何解释也很明确。设想有一条曲线 C 经过点 p，而且在 p 点的切矢量刚好是 v，那么函数 f 限制在曲线 C 上就是一个一元函数了(自变量是 C 的曲线参数)。这时候，你对这一个一元函数求导数，则 p 点对应的那个导数值就是倒数第二个式子。你可以实际计算一下就可以检验这个结论。用一个例子可以直观地说明一切。假设 f 代表三维空间中的温度分布（不随时间变化），你在空中沿着曲线 C飞翔，那么你就会随着时间的不同而感受到不同的温度，这时候你当然可以计算你所感受的温度的变化率了。在你经过 p 的时候，假设你的速度刚好是 v，则你计算出来的温度变化率就是倒数第二个式子所给的结果。
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2024-10-28 广告
