Question

已知关于x的一元二次方程x²-(2k=1)x+k²+k=0.(1)求证：方程有两个不相等的实数根；

（2）若△ABC的两边AB,AC的长是这个方程的两个实数根。第三边BC的长为5，当△ABC是等腰三角形时，求k的值。

Answer 1

（1）证明：∵△=（2k+1）2-4（k2+k）=1＞0，
∴方程有两个不相等的实数根；

（2）解：一元二次方程x2-（2k+1）x+k2+k=0的解为x=
2k+1±
1
2
，即x1=k，x2=k+1，
∵k＜k+1，
∴AB≠AC．
当AB=k，AC=k+1，且AB=BC时，△ABC是等腰三角形，则k=5；
当AB=k，AC=k+1，且AC=BC时，△ABC是等腰三角形，则k+1=5，解得k=4，
所以k的值为5或4．