Question

如图,在直角坐标系中,圆C与y轴相切,且C点的坐标为（1,0），直线l过点A（-1,0），与圆C切于点D.

（1）求直线l的解析式；
（2）在直线l上存在点P，使△APC为等腰三角形，求P点坐标.

Answer 1

解：
(1)设直线l的解析式为：y=kx+b，那么kx-y+b=0，将（-1,0）代入得
-k+b=0，所以k=b。
圆心（1，0）到直线的距离为圆的半径1，由点到直线的距离公式得
（k+0+b）/√（k^2+1^2)=1，化简得
4k^2=k^2+1，所以k^2=1/3，k=±√3/3，
所以l的解析式为：y=√3/3x+√3/3和y=-√3/3x-√3/3
（2） 分为2种情况
①当PA=PC时
P在AC垂直平分线（Y轴）上
令x=0，
代入直线方程y=√3/3x+√3/3和y=-√3/3x-√3/3得
y1=√3/3，y2=-√3/3
P点坐标为：
（0，√3/3）和（0，-√3/3）
②当AP=AC时
AC=2，
a、当直线方程为：y=√3/3x+√3/3时
设P点坐标为（x，√3/3x+√3/3）代入两点距离公式得
（x+1）^2+(√3/3x+√3/3)^2=2^2 整理得
（x+1）^2=3
所以x+1=±√3，所以x=±√3-1
当x1=√3-1时，y1=1；
当x2=-√3-1时，y2=-1
所以P点坐标为：（√3-1，1）和（-√3-1，-1）。

b、当直线方程为：y=-√3/3x-√3/3时
设P点坐标为（x，-√3/3x-√3/3）代入两点距离公式得
（x+1）^2+(-√3/3x-√3/3)^2=2^2 整理得
（x+1）^2=3
所以x+1=±√3，所以x=±√3-1
当x1=√3-1时，y1=-1；
当x2=-√3-1时，y2=1
所以P点坐标为：（√3-1，-1）和（-√3-1，1）。

综上所述P点坐标共有6个，分别为：
（0，√3/3），（0，-√3/3），（√3-1，1），（-√3-1，-1），（√3-1，-1）和（-√3-1，1）。