Question

1²+2²+3²+...+n²=?

如题

Answer 1

1²+2²+3²+…………n²=（n)(n+1)(2n+1)/6
几何证明方法
（我没法画图，可自己画）

矩形的宽即n
矩形的长：1+2+3+…+n=n(n+1)/2=(n2+n)/2
矩形面积：n(n2+n)/2=(n3+n2)/2
左下部空余部分（矩形与全部正方形的差）可以分为n-1条。
每条宽度均为1。
从上向下数第i条长度=1+2+3+…+i=i(i+1)/2=(i2+i)/2
则第i条面积也为(i2+i)/2。
所有n-1条的总面积：
(12+1)/2+(22+2)/2+(32+3)/2+…+[(n-1)2+(n-1)]/2
={[12+22+32+…+(n-1)2]+[1+2+3+…+(n-1)]}/2
=[(12+22+32+…+n2)-n2+n(n-1)/2]/2
=[(12+22+32+…+n2)-2n2/2+(n2-n)/2]/2
=[(12+22+32+…+n2)-(n2+n)/2]/2
为便于书写，记12+22+32+…+n2=t2
显然，大矩形面积=全部正方形面积+空余部分面积，则
(n3+n2)/2=t2+[t2-(n2+n)/2]/2
n3+n2=2t2+t2-(n2+n)/2
2n3+2n2=6t2-n2-n
6t2=2n3+3n2+n
t2=n(n+1)(2n+1)/6
即：
12+22+32+…+n2=n(n+1)(2n+1)/6

望采纳

Answer 2

我看不
懂
啊