Question

求lim x→0 (tanx－x)/(x²sinx)的极限。

(作用洛必达法则)由sin的等价无穷小之后→一次求导→二次求导得出lim x→0 (2sec²xtanx)/6x

!(⊙o⊙) lim x→0 (2sec²xtanx)/6x
是怎么得出1/3 *(lim x→0 tanx/x)？？求其间的过程，不懂是怎么变的。谢谢了！！

Answer 1

你说的是从 lim x→0 (2sec²xtanx)/6x得到1/3 *(lim x→0 tanx/x)这一步吗？
因为x→0时，sec²x→1，
lim x→0 (2sec²xtanx)/6x
= lim x→0 (2*1²*tanx)/6x
=1/3 *(lim x→0 tanx/x)
=1/3
有问题追问。

追问

为什么不用把x→0代到tanx中呢，是因为它代出的值是R吗？

追答

我不知道你问的是第几步
最后一步是因为 x→0时 tanx是x的等价无穷小，
所以lim x→0 tanx/x=1
倒数第二步中先把不是0的部分算出来，2sec²x=2
而直接计算=0的部分tanx 和x不能直接代入，直接代入就变成0/0。
有问题追问。

追问

谢谢你的细心解答！我懂了O(∩_∩)O！

追答

不用谢。互帮互助嘛。

Answer 2

原式=limx→0 (tanx-x)/x^3，(sinx~x，替换)
=limx→0 (sec^2x-1)/3x^2，(洛必达法则，求导)
=limx→0 tan^2x/3x^2，
=limx→0 x^2/3x^2，(tanx~x，替换)
=1/3。

追问

谢谢！O(∩_∩)O