Question

设向量组(Ⅰ)α1,α2,…αs的秩为r1，向量组(Ⅱ)β1,β2,…βs的秩为r2，且向量组(Ⅰ

设向量组(Ⅰ)α1,α2,…αs的秩为r1，向量组(Ⅱ)β1,β2,…βs的秩为r2，且向量组(Ⅰ)可由向量组(Ⅱ)线性表示，则( )

A.向量组α1+β1,α2+β2,…αs+βs的秩为r1+r2
B.向量组α1-β1,α2-β2,…αs-βs的秩为r1-r2
C. 向量组α1,α2,…αs，β1,β2,…βs的秩为r1+r2
D. 向量组α1,α2,…αs，β1,β2,…βs的秩为r1

Answer 1

设α1，α2...αr的极大无关组为a1,a2,...,ar1
同样，设β1，β2.....βs的极大无关组为b1,b2,...,br2
那么由A和B的极大无关组构成一个向量组D为:a1,a2,...,ar1,b1,b2,...,br2
因为向量组α1，α2...αrβ1，β2.....βs是可以由D来线性表示的，所以：r3<=秩D
而且，秩D<=D的向量个数=r1+r2
所以r3<=r1+r2