Question

如图,点D是等腰三角形ABC的斜边AB上的一个动点(不与A、B重合),过点D作DE⊥AB交边AC于点F，联结BE

∠E=30°，AB=4.设DE的长度为x，四边形DBCF的面积为y.
（1）求y与x之间的函数关系式，并指出它的定义域.
（2）联结BF，①当△BDF与△EDB相似时，求出x的值；②是否存在x的值，使得△BCF与△EDB相似？若存在，求出x的值；若不存在，请说明理由.

Answer 1

在RTΔABC中，AC=BC，
∴AC=BC=AB÷√2=2√2，
∴SΔABC=1/2×(2√2)^2=4，
在RTΔDEB中，DE=X，∠E=30°，
∴BD=DE÷√3=X/√3，
∴AD=4-X/√3，
∴SRTΔADF=1/2(AD)^2
=1/2(4-X/√3)^2
=X^2/6-4X/√3+8，
∴Y=SΔABC-SΔADF
=-X^2/6+4√3X/3-4，
当DE过C时，X=√3×2=2√3，
当DE过A时，DE=4√3，
∴2√3<X<4√3。
⑵①由相似得：
BD^2=DF*DE，
X^2/3=X(4-X/√3)
X=12-√3X
X=12/(√3+1)=6(√3-1)=6√3-6。
②设相似，则∠CBF=30°，
∴CF=BC÷√3=2√2/√3=2√6/3，
∴AF=2√2-2√6/3，
即√2(4-X/√3)=2√2-2√6/3
4√3-X=2√3-2
X=2√3+2。
∴在在。