Question

设函数对任意x均满足f(1+x)=af(x),且f'(0)=b,其中a,b为非零常数。为什么在x=1就可导？

希望能文字解释下，概念不是很懂啊

Answer 1

首先
f'(0)=b
所以在X=0这一点是可导的 所以有定义 再把0带入前式子
f(1)=af(0) 证明X=1有定义 且ab非零
f(1)/a=f(0) 所以两边求导 就 可以得到f‘(1)

Answer 2

lim x->0 (f(1+x)-f(1))/x = lim x->0 a*(f(x)-f(0))/x
而f'(0) =lim x->0 (f(x)-f(0))/x
所以lim x->0 (f(1+x)-f(1))/x存在，且lim x->0 (f(1+x)-f(1))/x = af'(0)=ab
所以f'(1) 存在，且f'(1) = ab
这样可以么？