Question

高一数学！！

已知函数f(x)=log3 (ax^2+8x+b/x^2+1)的定义域为R，值域为[0,2],求实数a、b的值. (ax^2+8x+b整体除以x^2+1）
多谢多谢！！过程……
-.- 思考很久还是不会！！谁能教下我啊？？！！

Answer 1

真数大于0，因为x^2+1>0
所以ax^2+8x+b>0恒成立
若a=0，则8x+b>0,此时不论b取何值都不保证恒大于0
所以a不等于0
则此时是二次函数
恒大于0所以开口向上，a>0
且和x轴没有交点，所以判别式小于0
所以64-4ab<0
ab>16

0<=f(x)<=2
所以log3(1)<=f(x)<=log3(3^2)
所以1<=(ax^2+8x+b)/(x^2+1)<=9
令y=(ax^2+8x+b)/(x^2+1)
则1<=y<=9
yx^2+y=ax^2+8x+b
(y-a)x^2-8x+(y-b)=0
这个关于x的方程有解所以判别式大于等于0
64-4(y-a)(y-b)>=0
(y-a)(y-b)-16<=0
则这个不等式的解是1<=y<=9
所以y=1和y=9是方程(y-a)(y-b)-16=0的两个解
y=1，(1-a)(1-b)-16=0,ab-a-b-15=0 (1)
y=9，(9-a)(9-b)-16=0,ab-9a-9b+65=0 (2)
相减
8a+8b=80
a+b=10
(1)*9-(2)
8ab=200
ab=25,符合ab>16
所以a和b是方程m^2-10m+25=0的两个跟
m1=m2=5
所以a=b=5

Answer 2

定义域思考：
x^2+1>=1>0,有：ax^2+8x+b>0恒成立
a>0,8^2-4ab=64-4ab<0,ab>16

值域思考：
3^0<=(ax^2+8x+b)/(x^2+1)<=3^2
1<=(ax^2+8x+b)/(x^2+1)<=9
记f(x)=(ax^2+8x+b)/(x^2+1)
f(x)max=9
f(x)min=1
f(x)=a+(8x+b-a)/(x^2+1)
f(x)min=f(无穷)=a=1

Answer 3

用判别式做出来貌似无解

Answer 4

我觉得也是！
而且题目又简单

Answer 5

分数太少了 懒得打