Question

已知：如图，在△ABC中，点D是BC中点，点E是AC中点，且AD⊥BC，BE⊥AC， BE,AD相交于点G，

已知：如图，在△ABC中，点D是BC中点，点E是AC中点，且AD⊥BC，BE⊥AC， BE,AD相交于点G，过点B作BF∥AC交AD的延长线于点F， DF=6. (1) 求AE的长； (2) 求S△AEG：S△FBG的值

Answer 1

因为D、E分别是中点，而且BE、AD是垂线，所以三角形ABC是等边三角形，
DF=6 则AB=BC=CA=BF=6÷√3 /2=4√3
所以AE=2√3
又AC//BF △AEG∽△BGF
S△AEG : S△FBG=（AE：BF）的平方=（2√3 : 4√3）的平方=1/4

Answer 2

∵AD垂直平分BC
∴AB=AC
∵BE垂直平分AC
∴AB=AC
∴△ABC等边三角形
∴∠CAD=∠BFD=∠ABE=30°(AC//BF,内错角相等，AD平分∠BAC)
∵DF=6 ,△BDF是直角三角形
∴BD=6tg30°
∵△ABE≌△BDA≌△BDF(直角三角形， 锐角30°、60°，AE=BD)
∴AE=BD=6tg30°=2√3
2
△ABE∽△GEA∽△GBF