Question

如图，在三角形ABC中，AB=AC,角BAC=120°，AD是BC边上的中线，且BD=BE,CD的

如图，在三角形ABC中，AB=AC,角BAC=120°，AD是BC边上的中线，且BD=BE,CD的垂直平分线MF交AC于点F,交BC于点M,MF的长为2
（1）求角ADE的度数
（2）三角形ABF是正三角形吗？为什么？
（3）求AB边的长

Answer 1

（1）∵AB=AC ∴△ABC是等腰三角形 ∵AD是BC边上的中线 ∴∠BAD=∠CAD=60° AD⊥BC ∴∠B=30° ∵BD=BE ∴∠BED=∠BDE=75° ∴∠ADE=15°
（2）∵AB=AC ∴△ABC是等腰三角形 ∵AD是BC边上的中线 ∴∠BAD=∠CAD=60° AD⊥BC ∴∠C=30° ∵CD的垂直平分线MF交AC于M ∴DF=CF ∴∠FDC=30° ∴∠ADF=60° ∴△ADF是正三角形
（3）∵CD的垂直平分线MF交AC于M ∴∠FMD=90° ∵AB=AC ∴△ABC是等腰三角形 ∵AD是BC边上的中线 ∴AD⊥BC ∴∠ADC=90° ∵△ADF是正三角形 ∴∠FDM=∠FCM=30° ∴△DFM是一个角为30°的直角三角形 ∵MF的长为2 ∴DF=4 ∵△ADF是正三角形 ∴AF=4 ∵垂直平分线上一点，到角两边的距离相等 ∴FC=AF=4 ∴AC=AB=4