Question

线性代数概念不明白 极大线性无关的数目是其向量的秩 那为什么基础解系的解是n－ra 不是很明白

线性代数概念不明白 极大线性无关的数目是其向量的秩 那为什么基础解系的解是n－ra 不是很明白 向高手指教。。。

Answer 1

谈谈我的理解，极大线性无关组其实就相当于向量组包含的信息一样，在对矩阵进行初等变化的过程就相当于在提出不必要的信息（这些信息可以用其他向量组表示），所以进行初等行变换后得到的是最简形式，即包含所有的信息的最简单的表达式，这也就是极大线性无关组，也就是矩阵的秩，或者向量的秩，基础解系要明白解的结构，比如说现在是四个未知量，秩为2那么也就是其中有包含两个有用信息，也就是可以确定两个未知量的关系，那么也就是剩下两个未知量不确定，为了得到基础解系，分别令其中一个为1.一个为零，比如x1，x2未知，我们分别令x1=1.x2=0.得到一个基础解，再令x1=0.x2=1. 得到另一个解，即有多少个未知量也就是多少个基础解，而未知量的个数就是n-r(a)

Answer 2

要把齐次方程组的所有解求出来，就要求解向量的极大线性无关组的个数（向量的秩）即基础解系的个数（换了个名字罢了），n其实就是未知数的个数，r（A）方程组中约束条件的个数，n-r（A）就是未知数个数减去约束条件的个数等于自由变量的个数，自由变量的个数不就是基础解系的个数嘛！，顺便说下没有自由变量齐次线性只有0解（满秩），r（A）小于n，约束条件个数要小于未知数个数，代表无穷解，（前面那部分来自于李永乐强化课第三章n维向量讲，后面那部分来自于汤家凤线性代数基础课关于r，以及线性方程组的的讲解，希望对楼主有帮助！）