Question

高中数学题，立体几何，求大神给个详细的解释，谢谢。

Answer 1

一个倒圆锥形容器，它的轴截面是三角形，

（1）如果三角形边长为2，求圆锥形容器的体积；

（2）在此容器内注入水，并浸入半径为r的一个铁实心球，使球与水面恰好相切，试求取出球后水面高为多少？

（1）解析：∵圆锥的轴截面是边长为2的正三角形，
∴底面半径r=1，高h=√3r=√3，
可得圆锥的体积是V=1/3πr^2h=√3/3π

（2）解析：如图．

                           

在容器内注入水，并放入一个半径为r的铁球，这时水面记为AB，
将球从圆锥内取出后，这时水面记为EF．
⊿PAB为轴截面，是正三角形，
⊿PEF也是正三角形，圆O是正三角形PAB的内切圆．
由题意可知，PA=PB=AB=2，DO=CO=R=√3/3

∴V(球)=4/3πR^3=4√3/27π，V(容器)=√3/3π

又设HP=h，则EH=√3/3h

∴V(水)=1/3*π*EH^2h=π/9h^3

∵V(水)+V(球)=V(容器)=√3/3π

即π/9h^3+4√3/27π=√3/3π

∴h=(5√3/3)^(1/3)

即圆锥内的水深是(5√3/3)^(1/3)