Question

如图，已知：⊙O是△ABC的外接圆，半径长为5，点D、E分别是边AB和边AC的中点，AB=AC，B

如图，已知：⊙O是△ABC的外接圆，半径长为5，点D、E分别是边AB和边AC的中点，AB=AC，BC=6。求∠OED的正切值。

Answer 1

解：

连接OA交DE于F，连接OD

∵D是AB的中点，E是AC的中点

∴DE=½BC=3（中位线定理）

   OE⊥AC（垂径定理）

∵AB=AC

∴OD=OE（弦相等，弦心踞相等）

   AD=AE

又∵AO=AO

∴△ADO≌△AEO（SSS）

∴∠DAO=∠EAO

∴AO⊥DE，EF=½DE=1.5（等腰三角形三线合一）

设OF=α，则AF=5-α

根据射影定理

EF²=OF×AF

1.5²=α（5-α）

α²-5α+2.25=0

α=4.5或α=0.5

∵BC和点A在圆心O的异侧，∠BAC＜90，∠OEF=∠OAE=½∠BAC＜45°

∴∠OEF＜∠EOF

∴OF＜EF

取α=0.5

tan∠OED=OF/EF=1/3

【此题若是BC和点A在圆心O的同侧，则tan∠OED=3】