Question

100分问一道概率论的问题

题目如4.7所示

下图是解答，我不明白的是，这个取值到底是在什么时候该取极限，什么时候取原函数值，感觉很混乱，希望好心人能帮我点明一下，最好有详细的分析说明，谢谢！

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Answer 1

严格来说，当不知道X属于何种类型变量，要取极限。
但是一般来说，对于离散型的要取极限，对于连续型的，可以不用取。
因为F(X)的定义是P{X<=x}，也就是包含了P{X=x}.对于离散型的来说，X=x这一点是有用的，不能忽略。但是连续变量的话，随机变量在某点的概率是为0的，也就是P{X=x}=0，只有在某个区间概率才大于0.也就是说，连续型的话去掉某点对概率没影响，所以P{a=<X<=b}=P{a=<X<b}=P{a<X<b}，所以取不取极限都一样。

Answer 2

如果求的是概率P(x<a)，那么用极限形式F(a-0)
若果求的是概率P(x≤a)，那么用函数值F(a)
即所求概率范围能取到右端点值是就直接用函数值，取不到时，用极限形式
除非分布函数是连续的，那么此时取到取不到右端点值就没有分别，都直接用函数值
这里是二维随机变量，联合分布函数F没说是连续的，∴取不到右端点时要用极限形式
第一个，P{a<x≤b，c<y≤d}=P{x≤b，y≤d}-P{x≤b，y≤c}-P{x≤a，y≤d}+P{x≤a，y≤c}
全部能取到右端点的值，∴直接用函数值=F(b,d)-F(b,c)-F(a,d)+F(a,c)
第二个，P{a≤x<b，c≤y≤d}=P{x<b，y≤d}-P{x<b，y<c}-P{x<a，y≤d}+P{x<a，y<c}
对取不到右端点处值的地方，∴应当用极限形式 =F(b-0,d)-F(b-0,c-0)-F(a-0,d)+F(a-0,c-0)

Answer 3

减去重复的部分