Question

（1）已知:如图在ΔABC中,∠B=60°,∠BAC,∠BCA的角平分线AD,CE相交于O。求证：AC=AE=CD

求详细过程，急急急。

（2）已知，如图所示，正方形ABCD中，F在BC上，∠EAF=45°，求证：EF=BE+DF

（3）如图，点M为正三角形ABC的边AB所在直线上的任意一点（点B除外），作∠DMN=60°，射线MN与∠DBA外角的平分线交于点N，DM与MN有怎样的数量关系？

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Answer 1

（2）证明：在CD的延长线上取点G，使DG＝BE，连接AG
∵正方形ABCD
∴AB＝AD，∠BAD＝∠ABC＝∠ADG＝90
∵DG＝BE
∴△ABE≌△ADG （SAS）
∴AG＝AE，∠DAG＝∠BAE
∵∠EAF＝45
∴∠BAE+∠DAF＝90-∠EAF＝45
∴∠GAF＝∠DAG+∠DAF＝∠BAE+∠DAF＝45
∴∠GAF＝∠EAF
∵AF＝AF
∴△EAF≌△GAF （SAS）
∴EF＝GF
∵GF＝DG+DF
∴GF＝BE+DF
∴EF＝BE+DF

（3）DM和MN是相等关系
证明：过点M作ME平行BD交AD于E
所以角EMD=角MDB
角DEM+角ADB=180度
DE/AD=BM/AB
角AEM=角ADB
角AME=角ABD
因为三角形ABD是正三角形
所以AD=AB
角ADB=角ABD=60度
所以角DEM=120度
DE=BM
因为BN是角ABD的外角平分线
所以角DBN=60度
所以角MBN=120度
所以角DEM=角MBN=120度
因为角DMN=60度
所以角DMN=角DBN=60度
所以D,M,B,N四点共圆
所以角MDB=角N
所以角EMD=角N
因为角DEM=角MBN=120度（已证）
DE=BM（已证）
所以三角形DEM和三角形MBN全等（AAS)
所以DM=MN

追问

亲，第一题嘞？

追答

额，有时间我就回答

追问

现在能答吗，我很急的，谢谢

追答

是不是AC=AE+CD

在AC上截取CF=CD，连OF，由已知得
△COD≌△COF，
∠COD=∠COF=∠AOE，
∠COA=180°-（∠BCA+∠BAC）/2=180°-（180°-60°）/2=120°，
∴∠COD=∠COF=∠AOE=60°，
∴∠AOF=60°，
∴△AOF≌△AOE，
AF=AE，
∴CD+AE=CF+AF=AC