Question

如图，四棱锥P-ABCD的底面为正方形，侧棱PA⊥底面ABCD，且PA=AD=2，E，F，H分别是线段PA，PD，AB的中点．

如图，四棱锥P-ABCD的底面为正方形，侧棱PA⊥底面ABCD，且PA=AD=2，E，F，H分别是线段PA，PD，AB的中点．（Ⅰ）求证：PB ∥ 平面EFH；（Ⅱ）求证：PD⊥平面AHF；（Ⅲ）求二面角H-EF-A的大小．

Answer 1

解法一： （Ⅰ）证明：∵E，H分别是线段PA，AB的中点， ∴EH ∥ PB． 又∵EH?平面EFH，PB?平面EFH， ∴PB ∥ 平面EFH． （Ⅱ）∵F为PD的中点，且PA=AD，∴PD⊥AF， 又∵PA⊥底面ABCD，BA?底面ABCD，∴AB⊥PA． 又∵四边形ABCD为正方形，∴AB⊥AD． 又∵PA∩AD=A，∴AB⊥平面PAD． 又∵PD?平面PAD，∴AB⊥PD． 又∵AB∩AF=A，∴PD⊥平面AHF． （Ⅲ）∵PA⊥平面ABCD，PA?平面PAB，∴平面PAB⊥平面ABCD， ∵AD?平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD=AB，AD⊥AB，∴AD⊥平面PAB， ∵E，F分别是线段PA，PD的中点，∴EF ∥ AD，∴EF⊥平面PAB． ∵EH?平面PAB，EA?平面PAB，∴EF⊥EH，∴EF⊥EA， ∴∠HEA就是二面角H-EF-A的平面角． 在Rt△HAE中， AE= 1 2 PA=1，AH= 1 2 AB=1 ，∴∠AEH=45°， 所以二面角H-EF-A的大小为45°． 解法二：建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz， ∴A（0，0，0），B（2，0，0），C（2，2，0），D（0，2，0）， P（0，0，2），E（0，0，1），F（0，1，1），H（1，0，0）． （Ⅰ）证明：∵ PB =(2，0，-2) ， EH =(1，0，-1) ， ∴ PB =2 EH ， ∵PB?平面EFH，且EH?平面EFH， ∴PB ∥ 平面EFH． （Ⅱ） PD =(0，2，-2) ， AH =(1，0，0) ， AF =(0，1，1) ， PD ? AF =0×0+2×1+(-2)×1=0 ， PD ? AH =0×1+2×0+(-2)×0=0 ． ∴PD⊥AF，PD⊥AH， 又∵AF∩AH=A，∴PD⊥平面AHF． （Ⅲ）设平面HEF的法向量为 n =(x，y，z) ， 因为 EF =(0，1，0) ， EH =(1，0，-1) ， 则 n ? EF =y=0 n ? EH =x-z=0 取 n =(1，0，1) ． 又因为平面AEF的法向量为 m =(1，0，0) ， 所以 cos＜ m，   n  ＞= m ? n | m || n | = 1+0+0 2 ×1 = 1 推荐律师服务： 若未解决您的问题，请您详细描述您的问题，通过百度律临进行免费专业咨询 广告 您可能关注的内容 圆锥曲线基本知识点_Kimi-AI写作-5分钟生成高质量文章 圆锥曲线基本知识点_选Kimi_智能AI精准生成写作、文案、翻译、编程等等_无广告无会员不限次数，你想要的全都有! kimi.moonshot.cn广告 其他类似问题 2012-08-23 如图，四棱锥P-ABCD的底面为正方形，侧棱PA⊥底面ABCD，且PA=AD=2，E，F，H分别是线段PA，PD，AB的中点． 15 2013-09-18 如图，在四棱锥P-ABCD中，侧棱PA⊥底面ABCD，底面ABCD为矩形，AD=2AB=2PA=2，E为PD的上一点， 23 2017-10-05 如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，侧棱PA垂直于底面，E、F分别是AB、PC的中点，PA=AD．求证 56 2017-12-15 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，侧棱PA垂直于底面，E、F分别是AB、PC的中点．（1）求证：CD⊥P 4 2016-08-27 如图，已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点．（1）证明：PA ∥ 1 2011-01-18 四棱锥P-ABCD的底面ABCD是正方形，侧棱PA垂直底面ABCD，PA=AD,E.F分别是棱PD.BC的中点，求AE垂直PC 3 2013-10-27 四棱锥P-ABCD的底面为正方形,侧棱PA垂直底面ABCD,且PA=AD=2,E,F,H分别是线段PA、PD、AB的中点。 3 2016-12-01 如图，四棱锥P-ABCD的底面是正方形，PA⊥底面ABCD，PA=2，∠PDA=45°，点E、F分别为棱AB、PD的中点．（1 3 为你推荐： 特别推荐 “网络厕所”会造成什么影响？ 癌症的治疗费用为何越来越高？ 新生报道需要注意什么？ 华强北的二手手机是否靠谱？ 百度律临—免费法律服务推荐 超3w专业律师，24H在线服务，平均3分钟回复 免费预约 随时在线 律师指导 专业律师 一对一沟通 完美完成 等你来答 换一换 帮助更多人 下载百度知道APP，抢鲜体验 使用百度知道APP，立即抢鲜体验。你的手机镜头里或许有别人想知道的答案。 扫描二维码下载 × 个人、企业类侵权投诉 违法有害信息,请在下方选择后提交 类别 色情低俗 涉嫌违法犯罪 时政信息不实 垃圾广告 低质灌水 我们会通过消息、邮箱等方式尽快将举报结果通知您。 说明 0/200 提交 取消 领取奖励 我的财富值 0 兑换商品 -- 去登录 我的现金 0 提现 下载百度知道APP 在APP端-任务中心提现 我知道了 -- 去登录 做任务开宝箱 累计完成 0 个任务 10任务 略略略略… 50任务 略略略略… 100任务 略略略略… 200任务 略略略略… 任务列表加载中... 新手帮助 如何答题 获取采纳 使用财富值 玩法介绍 知道商城 合伙人认证 您的账号状态正常 感谢您对我们的支持 投诉建议 意见反馈 账号申诉 非法信息举报 京ICP证030173号-1   京网文【2023】1034-029号     ©2024Baidu  使用百度前必读 | 知道协议 | 企业推广 辅 助 模 式