Question

如图1，以点M（-1，0）为圆心的圆与y轴、x轴分别交于点A、B、C、D，直线y=- x- 与⊙M相切于点H，交x轴

如图1，以点M（-1，0）为圆心的圆与y轴、x轴分别交于点A、B、C、D，直线y=- x- 与⊙M相切于点H，交x轴于点E，交y轴于点F。（1）请直接写出OE、⊙M的半径r、CH的长；（2）如图2，弦HQ交x轴于点P，且DP∶PH=3∶2，求cos∠QHC的值；（3）如图3，点K为线段EC上一动点（不与E、C重合），连接BK交⊙M于点T，弦AT交x轴于点N，是否存在一个常数a，始终满足MN·MK=a，如果存在，请求出a的值；如果不存在，请说明理由。

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Answer 1

解：（1）如图1，OE=5，r=2，CH=2；	图1
（2）如图2，连接QC、QD，则 ， ， 易知 ，故 ， ， ， 由于CD=4， ∴ ；	图2
（3）如图3，连接AK，AM，延长AM，与圆交于点G，连接TG，则 ， ∴ ， ∵∠3=∠4， ∴∠2+∠3=90°， 由于 ，故 ， 而 ，故 ， 在△AMK和△NMA中，∠1=∠2，∠AMK=∠NMA； 故 ； ， 即： ， 故存在常数a，始终满足 ，常数a=4。	图3