Question

已知，如图，BD是正方形ABCD的对角线，BE平分∠DBC，交DC于点E，延长BC到点F，使CF=CE，连接DF，交BE的延

已知，如图，BD是正方形ABCD的对角线，BE平分∠DBC，交DC于点E，延长BC到点F，使CF=CE，连接DF，交BE的延长线于点G，求证：（1）△BCE≌△DCF；（2）DG2=GE?GB；（3）若CF=22-2，求正方形ABCD的面积．

Answer 1

证明：（1）∵四边形ABCD为正方形，
∴CB=CD，∠BCD=90°，
在△BCE和△DCF中

BC＝DC ∠BCE＝∠DCF CE＝CF

，
∴△BCE≌△DCF（SAS）；
（2）∵△BCE≌△DCF，
∴∠CBE=∠CDF，
∵BE平分∠DBC，
∴∠CBE=∠DBE，
∴∠DDG=∠GBD，
而∠DGE=∠BGD，
∴△GDE∽△GBD，
∴DG：GE=GB：DG，
∴DG²=GE?GB；
（3）∵∠CBE=∠CDF，
而∠CEB=∠GED，
∴∠DGE=∠BCE=90°，
∴BG⊥DF，
而BG平分∠DBF，
∴△BGF为等腰三角形，
∴BD=BF=BC+CF，
∵BD=

2

BC，CF=2

2

-2，
∴

2

BC=BC+2

2

-2，
∴BC=2，
∴正方形ABCD的面积为4．