Question

若不等式(m 2 -2m-3)x 2 -(m-3)x-1＜0的解集为R，求实数m的取值范围

若不等式(m 2 -2m-3)x 2 -(m-3)x-1＜0的解集为R，求实数m的取值范围．

Answer 1

解：(1)若m 2 -2m-3=0．则m=3或m=-1， ①若m=3，原不等式的解集为R； ②若m=-1，原不等式化为4x-1＜0，则原不等式的解集为 ，不合题设条件，舍去； (2)若m 2 -2m-3≠0，依题意，得 ， 解得 ，即 ， ∴ ＜m≤3， 综上，实数m的取值范围是( ，3]。

Answer 2

解：
(m²-2m-3)x²-(m-3)x-1<0
(m+1)(m-3)x²-(m-3)x-1<0
分类讨论：
(1)
m=3时，不等式变为-1<0，不等式恒成立，解集为R，m=3满足题意。
(2)
m=-1时，不等式变为4x-1<0
解得x<1/4，不等式解集为(-∞，1/4)，解集不为R，m=-1不满足题意。
(3)
m≠-1且m≠3时，
令y=(m+1)(m-3)x²-(m-3)x-1
要不等式解集为R，即函数图像恒在x轴下方。二次项系数(m+1)(m-3)<0，一元二次方程
(m+1)(m-3)x²-(m-3)x-1=0判别式△<0
(m+1)(m-3)<0，解得-1<m<3
△=[-(m-3)]²-4·(m+1)(m-3)·(-1)<0
整理，得(5m+1)(m-3)<0
-1/5<m<3
综上，得-1/5<m<3

综上，得-1/5<m≤3，实数m的取值范围为(-1/5，3]

总结：
1、本题需要分类讨论；
2、分类讨论时，不要忽略m=-1的情况。只有m≠-1且m≠3时，y=(m+1)(m-3)x²-(m-3)x-1才是二次函数，(m+1)(m-3)x²-(m-3)x-1=0才是一元二次方程，才能考察判别式。