Question

已知数列{a n }满足a 1 =2，a n+1 =2（1+ 1 n ） 2 ?a n ．（1）求证数列{ a n

已知数列{a n }满足a 1 =2，a n+1 =2（1+ 1 n ） 2 ?a n ．（1）求证数列{ a n n 2 }是等比数列，并求其通项公式；（2）设b n = a n n ，求数列{b n }的前n项和S n ；（3）设C n = n a n ，求证： c 1 + c 2 + c 3 +…+ c n ＜ 7 10 ．

Answer 1

（1）∵a n+1 =2（1+ 1 n ） 2 ?a n ， ∴ a n+1 (n+1 ) 2 =2? a n n 2 ∵a 1 =2，∴{ a n n 2 }是以2为首项，2为公比的等比数列 ∴ a n n 2 = 2 n ∴a n =n 2 ?2 n ；   （2）  b n = a n n =n?2 n ∴S n =1?2 1 +2?2 2 +…+n?2 n ∴2S n =1?2 2 +2?2 3 +…+（n-1）?2 n +n?2 n+1 两式相减可得-S n =2 n+1 -2-n?2 n+1 ∴S n =2+（n-1）?2 n+1 ； （3）证明：c n = n a n = 1 n? 2 n ＞0， 设T n =c 1 +c 2 +c 3 +…+c n ，则T 1 ＜T 2 ＜T 3 ＜T 4 ， 当n≥4时，T n = 1 1?2 + 1 2? 2 2 +…+ 1 n? 2 n ＜ 1 2 + 1 8 + 1 4 ( 1 2 4 +…+ 1 2 n ) = 2 3 + 1 4 ? 1 2 3 - 1 4 ?( 1 2 ) n ＜ 2 3 + 1 4 ? 1 2 3 ＜ 2 3 + 1 30 = 7 10 综上：c 1 +c 2 +c 3 +…+c n ＜ 7 10