已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，离心率为 1 2 ，它的一个顶点恰好是抛物线x 2 =4

已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，离心率为12，它的一个顶点恰好是抛物线x2=43y的焦点．（I）求椭圆C的标准方程；（II）若A、B是椭圆C上关x轴对称的任意两... 已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，离心率为 1 2 ，它的一个顶点恰好是抛物线x 2 =4 3 y 的焦点．（I）求椭圆C的标准方程；（II）若A、B是椭圆C上关x轴对称的任意两点，设P（-4，0），连接PA交椭圆C于另一点E，求证：直线BE与x轴相交于定点M；（III）设O为坐标原点，在（II）的条件下，过点M的直线交椭圆C于S、T两点，求 OS ? OT 的取值范围． 展开
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#热议# 发烧为什么不能用酒精擦身体来退烧？
♂疯子灬0K凜
推荐于2016-12-01 · 超过61用户采纳过TA的回答
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（1）由抛物线x 2 =4
3
y 得焦点 (0，
 3
) ．
设椭圆方程为
x 2
a 2
+
y 2
b 2
=1(a＞b＞0) ．
由题意可得
e=
c
a
=
 1-
b 2
a 2
=
1
2
b=
 3
a 2 = b 2 + c 2
，解得
a=2
b=
 3
c=1
，
∴椭圆的方程为
x 2
4
+
y 2
3
=1 ．
（2）证明：由题意可知直线PA的斜率存在，设直线PA的方程为y=k（x+4），
联立
y=k(x+4)
x 2
4
+
y 2
3
=1
，消去y得到（4k 2 +3）x 2 +32k 2 x+64k 2 -12=0   ①
设点A（x 1 ，y 1 ），E（x 2 ，y 2 ），则B（x 1 ，-y 1 ）．
直线BE的方程为 y-(- y 2 )=
y 2 + y 1
x 2 - x 1
(x- x 2 ) ．
令y=0，则 x= x 2 -
y 2 ( x 2 - x 1 )
y 2 + y 1
，
把y 1 =k（x 1 +4），y 2 =k（x 2 +4）代入上式并整理得 x=
2 x 1 x 2 +4( x 1 + x 2 )
x 1 + x 2 +8
．②
由①得 x 1 + x 2 =-
32 k 2
4 k 2 +3
， x 1 x 2 =
64 k 2 -12
4 k 2 +3
，将其代入②并整理得 x=
(128 k 2 -24)+4×(-32 k 2 )
-32 k 2 +8(4 k 2 +3)
=-1 ．
∴直线BE与x轴相交于定点M（-1，0）．
（3）当过点M的直线斜率存在时，设直线ST的方程为y=m（x+1），且S（x 3 ，y 3 ），T（x 4 ，y 4 ）在椭圆C上，
联立
y=m(x+1)
x 2
4
+
y 2
3
=1
得（4m 2 +3）x 2 +8m 2 x+4m 2 -12=0，
则△=（8m 2 ） 2 -4（4m 2 +3）（4m 2 -12）=144（m 2 +1）＞0．
∴ x 3 + x 4 =-
8 m 2
4 m 2 +3
， x 3 x 4 =
4 m 2 -12
4 m 2 +3
，
∴
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