Question

已知，△ABC中，AB=6，AB边上的高为4．（1）如图1，四边形EFGH为正方形，E、F在边AB上，G、H分别在边AC、

已知，△ABC中，AB=6，AB边上的高为4．（1）如图1，四边形EFGH为正方形，E、F在边AB上，G、H分别在边AC、BC上．求正方形的边长；（2）如图2，三角形内有并排的两个全等的正方形，它们组成的矩形DEFG的顶点D、E在△ABC的边AB上，G、F分别在边AC、BC上．正方形的边长为______；（3）如图3，三角形内有并排的三个全等的正方形，它们组成的矩形有两个顶点在△ABC的边AB上，其它顶点分别在边AC、BC上．正方形的边长为______；（4）如图4，三角形内有并排的n个全等的正方形，它们组成的矩形的两个顶点在△ABC的边AB上，其它顶点分别在边AC、BC上．正方形的边长用含n的代数式表示______

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Answer 1

解：（1）过C作CM⊥AB，垂足为M，交GH于点N．
∴∠CMB=90°，
∵正方形EFGH，
∴GH∥AB，GH=GF，GF⊥AB，
∴∠CGH=∠A，∠CNH=∠CMB=90°．
∵∠GCH=∠ACB，
∴△CGH∽△CAB．（3分）
∴

CN

CM

=

GH

AB

．（4分）
∵GF=MN=GH，设GH=x，
∴CN=CM-MN=CM-GH=CM-x．
∵AB=6，CM=4，∴

x

6

=

4?x

4

解得x=2.4∴正方形的边长为2.4． （5分）

（2）根据正方形的性质，
过C作CM⊥AB，垂足为M，交GH于点N．可知
△CGF∽△CAB．
∵AB=6，CM=4，∴

2x

6

=

4?x

4

解得：x=

12

7

故正方形的边长为

12

7

（6分）

（3）根据正方形的性质，
过C作CM⊥AB，垂足为M，交GH于点N．可知
AB=6，CM=4，∴

3x

6

=

4?x

4

解得：x=

4

3

故正方形的边长为

4

3

（7分）

（4）由此，当为n个正方形时

nx

6

=

4?x

4

所以x=

12

2n+3

（8分）