Question

如图，已知一个圆锥的底面半径为R，高为h，在其中有一个高为x的内接圆柱（其中R，h均为常数）．（1）当x=

如图，已知一个圆锥的底面半径为R，高为h，在其中有一个高为x的内接圆柱（其中R，h均为常数）．（1）当x=23h时，求内接圆柱上方的圆锥的体积V；（2）当x为何值时，这个内接圆柱的侧面积最大？并求出其最大值．

Answer 1

解：圆锥、圆柱的轴截面如图所示，其中SO=h，OA=OB=R，OK=x．
设圆柱底面半径为r，则

r

R

＝

h?x

h

（3分）
（1）当x＝

2

3

h时，r＝

1

3

R，SK＝

1

3

h
∴V＝

1

3

?πr2?SK＝

1

3

?

1

9

πR2?

1

3

h=

1

81

πhR2
（2）设圆柱的侧面积为S．
∵r＝

h

R

(h?x)，
∴S＝2π?

h

R

(h?x)x=?

2πR

h

(x?

h

2

)2+

πRh

2

∴当x＝

h

2

时，Smax＝

πRh

2

．